Manuel Bullejos (U. Granada)
“Hacia una categorización de la cohomología no abeliana”
Cuando decidimos adentrarnos en el estudio de la cohomología no abeliana nos encontramos con multitud de cálculos y condiciones. Son tantos que es difícil no perder la esperanza y dedicarnos a otra cosa. Barajamos la idea de usar un lenguaje más complicado para así simplificar los conceptos. Con nuestro proyecto de categorizar la cohomología no abeliana pretendemos utilizar el lenguaje de multi-categorías para expresar conceptos y condiciones que aparecen en esta teoría, con la idea de que la cohomología no abeliana pase a ser más comprensible al menos para aquellos que manejen el lenguaje complejo de multi-categorías.
Federico Cantero (U. Barcelona)
“Homología estable del espacio de superficies en una variedad”
Los grupos de homología de dimensión menor que k del espacio de subvariedades de dimensión 2 de género g en una variedad ambiente simplemente conexa de dimensión mayor o igual que 6 son isomorfos a los grupos de homología de cierto espacio de secciones cuando k ≤ (2g–2)/3.
Joanna Cirici (U. Barcelona)
“Teoría de Homotopía de los Diagramas de Hodge Mixtos”
Estudiaremos la teoría de homotopía de los diagramas de Hodge mixtos multiplicativos en el marco de las categorías de Cartan-Eilenberg, vía la construcción de modelos cofibrantes minimales. Daremos aplicaciones a la homotopía racional de las variedades algebraicas complejas.
Laiachi El Kaoutit (U. Granada)
“Morita-invariación de la (co)homología cíclica en algebroides de Hopf”
En geometría diferencial se sabe que dos algebroides de Lie Morita equivalentes tienen (salvo isomorfismos) la misma cohomología. Lo mismo ocurre en variedades de Poisson respecto de la homología de Poisson. Por otro lado, sabemos en álgebra como asociarle (de manera funtorial) a cada algebroide de Lie, un algebroide de Hopf (por la izquierda) universal cuya (co)homología cíclica viene dada por la (co)homología del algebroide de Lie inicial. Sería pues interesante describir la invariación de la (co)homología entre algebroides de Lie, en términos de la invariación de la (co)homología cíclica entre sus correspondiente algebroides de Hopf. El primer obstáculo para lograr dicha descripción es que a nuestro saber no hay una noción 'satisfactoria' de equivalencia de Morita entre algebroides de Hopf no conmutativos.
En esta charla hablaremos sobre el problema de la invariación de la (co)homología cíclica entre un algebroide
de Hopf cualquiera y su correspondiente algebroide de Hopf obtenido después de hacer un cambio del anillo base mediante una equivalencia de Morita. Como aplicación geométrica, vamos a considerar el algebroide de Lie transitivo del toro clásico de dimensión 2, haciendo un cambio del anillo base al toro no conmutativo de dimensión 2 (con parámetro racional). Este es un trabajo conjunto con Niels Kowalzig.
Fernando Muro (U. Sevilla)
“Espacios de móduli de álgebras A-infinito”
Un resultado clásico de Gabriel nos dice que el espacio de móduli de álgebras unitarias sobre un espacio vectorial de dimensión finita fijado es un abierto de Zariski del correspondiente espacio de móduli de álgebras no necesariamente unitarias.
Presentaremos una generalización de este resultado al contexto de álgebras A-infinito sobre un complejo perfecto. Para ello nos situaremos en un contexto de geometría algebraica homotópica en el sentido de Toën y Vezzosi. La herramienta clave es una extensión de un resultado de Rezk que permite construir espacios de móduli de álgebras sobre una opérada no simétrica.
Beatriz Rodriguez (CSIC Madrid + LMU Londres)
“Un criterio de derivabilidad basado en adjunciones”
En esta charla introduciremos un criterio de derivabilidad de funtores que no se basa en la existencia de resoluciones, sino en la existencia de adjunciones. Dicho resultado constituye un converso del Teorema de Adjunción Derivada de Quillen-Maltsiniotis. En consecuencia, deduciremos que los colímites homotópicos en el sentido de Quillen (definidos como funtores derivados absolutos del colímite) coinciden con los colímites homotópicos en el sentido de Grothendieck (definidos como adjuntos del funtor constante localizado). Por otro lado, concluiremos también que la construcción de B. Toën del hom interno para la teoría de Morita derivada es en efecto el funtor derivado absoluto del hom interno de dg-categorías.
José L. Rodríguez (U. Almería)
“Localizaciones de grupos infinitos casi-simples y sus centros”
Göbel y Trlifaj sugieren en su libro reciente determinar qué grupos abelianos son centros de localizaciones de grupos simples. En esta charla hablaré de un teorema, conjunto con Göbel, que asegura que, al menos, todo grupo abeliano numerable puede realizarse como centro de una localización de una extensión central de algún grupo simple (es decir, de un grupo casi-simple). Este resultado usa la construcción de Obraztsov y Ol'shanskii de grupos infinitos simples de exponente primo impar, mayor que 1075, con un retículo de subgrupos bien establecido por operaciones de conjugación, similar a la que dió lugar a la existencia de grupos de Burnside, o monstruos de Tarski, entre otros.
Abdó Roig (UPC Barcelona)
“Motivos no commutativos y descenso”
En esta charla voy a hablar de la teoría emergente de motivos no commutativos, fruto de ideas de Kontsevich y desarrollada por Tabuada y Marcolli. Describiré las categorías de motivos no commutativos, donde se reemplazan los esquemas lisos por "espacios no commutativos" representados por dg-categorías saturadas. Finalmente voy a hablar de la relación entre motivos no commutativos puros y mixtos y una aplicación de las técnicas de descenso.
Darío Sánchez (U. Salamaca)
“Sobre el grupo de transfomadas de Fourier-Mukai relativas para fibraciones”
En esta charla analizaremos el problema de describir el grupo de autoequivalencias integrales relativas de la categoría derivada de un esquema X que admite una estructura de fibración sobre un esquema base B. Es decir, el grupo de funtores integrales cuyos núcleos son objetos de la categoría derivada del producto fibrado de X sobre B. Los ingredientes fundamentales para abordar este problema son, por un lado, conocer el grupo de transformadas de Fourier-Mukai en cada fibra y, por otro, el estudio del comportamiento de los núcleos al restringirlos a las fibras. Como ejemplo aplicaremos dicho estudio de los núcleos al caso de esquemas fibrados en curvas proyectivas e íntegras con género aritmético uno. Para este tipo de curvas la descripción del grupo de autoequivalencias de su categoría derivada se obtiene a partir del hecho de que dichas autoequivalencias operan por automorfismos simplécticos sobre el grupo de Grothendieck de su categoría derivada.
Esto forma parte de un trabajo en colaboración con A. Cristina López Martín y Carlos Tejero Prieto (arXiv:1011.1890) donde se describe el grupo de transformadas de Fourier-Mukai relativas para fibraciones de Weierstrass, esquemas abelianos y fibraciones (anti)Fano.
Fernando Sancho (U. Salamaca)
“Funtores integrales no exactos”
Un funtor integral entre las categorías derivadas de dos esquemas es en particular un funtor exacto entre ellas. No se sabe hasta el momento si todo funtor exacto es integral. Examinaremos la definición de funtor integral y veremos cómo se puede generalizar de modo natural a una noción más general que llamaremos funtor integral (posiblemente no exacto) entre las categorías derivadas de dos esquemas. Probaremos entonces que, con esta definición más general, todo funtor (exacto o no) entre las categorías derivadas de dos esquemas es integral.