G1011447 - Álgebra, Números y Geometría (Materias Optativas) - Curso 2012/2013

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 40.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 18.00
• Horas de Tutorías: 2.00
• Total: 60.0

Otros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grado RD 1393/2007
• Departamentos: Álgebra
• Áreas: Álgebra
• Centro: Facultad de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulaciones de Grado/Máster
• Docencia y Matrícula: null

Profesores

Nombre	Coordinador
Franco Fernández, Leoncio.	SI
GOMEZ PARDO, JOSE LUIS.	NO

Horarios

Nombre	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exámenes
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NO
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Tutorías	NO	NO
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Tutorías	NO	NO

Programa

Existen programas da materia para los siguientes idiomas:

Castellano

Gallego

Inglés

Objetivos de la asignatura
Conocer algunas de las aplicaciones mas importantes de las matemáticas a la teoría de números y a la geometría.

Conocer la teoría de residuos cuadráticos y la ley de reciprocidad cuadrática, así como la importancia de la misma como fuente de ideas para la teoría de números.

Comprender el significado del teorema fundamental de la aritmética en el contexto de los anillos de enteros algebraicos.

Conocer el teorema de los ceros de Hilbert y la relación entre ideales y variedades contenida en el "diccionario álgebra-geometría".

Conocer los aspectos fundamentales de la teoría de curvas algebraicas planas incluyendo una introducción a la teoría de la intersección.
Contenidos
1. Residuos cuadráticos. La ley de reciprocidad cuadrática. Cálculo del símbolo de Legendre y de Jacobi. Aplicaciones.

2. Representaciones de enteros por formas cuadráticas binarias. Sumas de cuadrados. Teoremas de Lagrange, Euler y Legendre.

3. Cuerpos de números algebraicos. El discriminante. Enteros algebraicos y bases de integridad. Cuerpos cuadráticos y cuerpos ciclotómicos.

4. La factorización en anillos de enteros algebraicos. El teorema fundamental de la aritmética para ideales.

5. Conjuntos algebraicos. El teorema de la base de Hilbert. Ideales radicales. El teorema de los ceros de Hilbert y el diccionario álgebra-geometría. La topología de Zariski.

6. Curvas algebraicas proyectivas. Aplicaciones racionales. Puntos lisos y puntos singulares.

7. Curvas planas. Multiplicidades y números de intersección. Divisores. Teorema de Bezout.
Bibliografía básica y complementaria
Bibliografía básica:

W. Fulton, Curvas Algebraicas, Editorial Reverté, 1971.

I. Stewart, D. Tall, Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, 3rd Ed., A.K. Peters, 2002.



Bibliografía complementaria

D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer, 1992.

J.S. Chahal, Topics in Number Theory, Plenum, 1988.

G. Everest, T. Ward, An Introduction to Number Theory, Springer, 2005.

W. Kunz, Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, 2005.
Competencias
Contribuir a alcanzar las competencias generales, específicas y transversales recogidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC y, en especial, las siguientes:

Comunicación escrita y oral de conocimientos, métodos e ideas generales relacionadas con la teoría de números y la geometría.

Utilizar herramientas de búsqueda de recursos bibliográficos sobre los temas de la asignatura, incluyendo el acceso por Internet. Manejar dichos recursos en diferentes idiomas y, especialmente, en inglés.

Saber exponer hipótesis y extraer conclusiones usando argumentos bien razonados y sabiendo identificar fallos lógicos y falacias en las argumentaciones.


Competencias específicas:

Familiarizarse con los símbolos de Legendre y de Jacobi y su computación eficiente, así como algunas de sus principales aplicaciones.

Conocer algunos de los resultados clásicos más importantes sobre representación de enteros por formas cuadráticas y, en particular, como sumas de cuadrados.

Conocer la teoría básica de factorización de enteros algebraicos y estudiar el problema de la no-unicidad de la factorización.

Estudiar el problema de la factorización en contexto más amplio de la teoría de ideales y comprender el teorema de la factorización única en este contexto.

Manejar con soltura el diccionario álgebra-geometría.

Conocer los aspectos más importantes de la teoría de curvas algébraicas planas y comprender el teorema de Bezout.
Metodología de la enseñanza
Se seguirán las indicaciones metodológicas generales que figuran en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC. La docencia se impartirá en clases de pizarra, clases con ordenador y tutorías con y sin ordenador, además de tutorías en grupos muy reducidos.

En las clases, se presentarán los contenidos esenciales de la materia, se resolverán problemas y se propondrán las actividades que los estudiantes deberán realizar para la evaluación continua (resolución de problemas, elaboración de trabajos, ...). En las clases y tutorías con ordenador se utilizará fundamentalmente Maple como herramienta de trabajo.
Sistema de evaluación
Se seguirá el criterio general de evaluación establecido en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC.

Para el cálculo de la calificación final (F) se tendrá en cuenta la evaluación continua (C) y la calificación del examen final (E) y se aplicará la siguiente fórmula:

F = max(E, 0,4*C+0.6*E).

Para la evaluación continua se tendrá en cuenta la participación en las clases y tutorías y las tareas desarrolladas a lo largo del curso.
Tiempo de estudio y trabajo personal
Siguiendo las directrices establecidas en la Memoria del Título de Grado en Matemáticas de la USC, el tiempo que el estudiante deberá dedicar a la preparación de la materia consiste en:

- 60 horas de trabajo presencial.

- 90 horas de trabajo personal que comprenden las siguientes actividades:

- 50 horas de estudio autónomo.
- Elaboración de trabajos y resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas y búsqueda de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentaciones orales: 10 horas.
Recomendaciones para el estudio de la asignatura
Es aconsejable el conocimiento previo de las estructuras algebraicas básicas, incluyendo las extensiones de cuerpos.

Se recomienda la asistencia y la participación activa en las clases y tutorías programadas, complementadas con el trabajo diario para asimilar los conceptos de la materia y realizar las actividades (problemas, trabajos) que se irán proponiendo periódicamente.