091584 - Topoloxía Alxébrica (OPCIÓN MATEMÁTICA PURA) - Curso 2011/2012

Información

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria RD 1497/1987
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: Segundo Cuadrimestre
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
Alcalde Cuesta, Fernando.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo P01	Ordinario	Prácticos	SI	NON
Grupo T01	Ordinario	Teóricos	SI	SI

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Objetivos de la asignatura
La materia pretende ser una introducción a la Topología Algébrica, que permita presentar algunos de sus métodos y herramientas y aplicarlos a la resolución de problemas, especialmente geométricos, pero también algébricos.

Tras una formación en Topología General, Geometría Diferencial y Álgebra, esta materia se propone el estudio de los métodos de la topologia algébrica, que utilizan técnicas de todas esas materias y permiten resolver de forma elegante y eficaz problemas difíciles, pero de planteamiento sencillo, como la invarianza topológica de la dimensión, el carácter libre de todo subgrupo de un grupo libre, teoremas de punto fijo, orientabilidad o propiedades geométricas de las esferas.

La interrelación entre teorías diversas facilita la consolidación de los conocimientos adquiridos y el proceso de maduración matemática, favoreciendo su comprensión unitaria y preparando al estudiante para posteriores desarrollos.

La Homología asocia una sucesión de grupos abelianos a cada espacio topológico, grupos que son invariantes topológicos del espacio. Estos grupos son calculables en muchos casos, a veces incluso mediante un algoritmo computacional, y permiten deducir muchos resultados geométricos. En el curso, se aborda el estudio de la Homología Singular, mostrando su potencia para resolver problemas geométricos a través de un gran número de cálculos.

Contenidos
1. CW-COMPLEJOS
Pegado de espacios. Adjunción dunha celda. Propiedades topológicas. CW-complejos. Propiedades topológicas. Ejemplos: superficies compactas, espacios proyectivos reales y complejos, espacios lente.

2. HOMOLOGIA SINGULAR
Símplices. Grupos de homología singular. Homología reducida. Morfismo inducido por una aplicación continua. Invarianza topológica. Homología de un espacio contráctil. Homotopía de cadenas. Invarianza homotópica de los grupos de homología. Modelos acíclicos. Relación con el grupo fundamental .

3. SUCESION DE MAYER-VIETORIS
Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Homología de las esferas. Grado de una aplicación entre esferas. Suspensión de un espacio topológico. Homología de la suspensión. Homología de superficies compactas. Homología de espacios proyectivos reales y complejos. Sucesión exacta de Wang.

4. SUBDIVISION BARICENTRICA.
Símplices pequeños. Subdivisión baricéntrica de símplices geométricos. Subdivisión baricéntrica de cadenas singulares.

5. HOMOLOGIA RELATIVA
Grupos de homología relativa. Sucesión exacta larga de un par. Teorema de escisión. Interpretación de los grupos de homología relativa. Retorno a Mayer-Vietoris.

6. HOMOLOGIA DE CW-COMPLEXOS.
El complexo celular. Homología de CW-complejos. Homología de superficies compactas. Homología de espacios proyectivos y espacios lente. Límites directos.

7. APLICACIONES
Teoremas de Brouwer e Borsuk-Ulam. Puntos fijos y antipodales. Teorema de Poincaré. Indice de Poincaré de una curva plana. Fórmula de Poincaré. Teoremas de Cauchy y D'Alembert. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de Brouwer de invarianza del dominio.

8. HOMOLOXIA DUN PRODUCTO
Fórmula de Künneth. Teorema de Eilenberg-Zilber.


Bibliografía básica y complementaria
AARMSTRONG M.A., Topología Básica. Editorial Reverté,1986.
BREDON G.E., Topology and Geometry. Springer-Verlag, 1993.
CROOM F.H., Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag.
DOLD A., Lectures on Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1972.
DUBROVIN B.A., FOMENKO A.T. and NOVIKOV S.P., Modern Geometry. Methods and Applications. Springer, 1985
DUGUNDJI J.,Topology. Allyn and Bacon Inc., 1966.
EILENBERG S. and STEENROD N., Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press, 1951.
FULTON W., Algebraic topology : a first course. Springer-Verlag, 1995.
GODBILLON C., Éléments de Topologie Algébrique. Hermann, 1971.
GREENBERG M.J., Lectures on Algebraic Topology. Benjamin, 1967.
GREENBERG M.J. and HARPER J.R., Algebraic Topology: a first course. Benjamin, 1981.
HATCHER A., Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002.
HILTON P.J. and WYLIE S. Homology Theory. Cambridge University Press, 1965.
HOCKING J.G. and YOUNG G.S.,Topology, Addison-Wesley, 1961.
KOSNIOWSKI C.,Topología Algebraica. Editorial Reverté, 1986.
MASSEY W.S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté, 1972.
MASSEY W.S., A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1977.
MASSEY W.S., Singular Homology Theory. Springer-Verlag, 1980.
MAY J.P., A Concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, 1999.
MUNKRES J.R., Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, 1975.
SPANIER E., Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1982.
STEENROD N., The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, 1951.
VICK J.W., Homology Theory. Addison-Wesley, 1983.
Competencias
AUtilizar las técnicas homológicas para abordar problemas geométricos. Ser capaz de calcular los grupos de homología para un gran número de espacios.

Conocer ejemplos y contraejemplos de espacios que ilustren las propiedades estudiadas.

Como competencia transversal, se dedicará cierta atención al uso de la lengua inglesa, proponiendo lecturas idóneas e insistiendo en la presencia del léxico matemático en inglés.

Metodología de la enseñanza
A lo largo del curso, se hará especial hincapié en el tratamiento de ejemplos y aplicaciones geométricas. Se dedicarán 2 horas de clase semanales a los aspectos teóricos y otras 2 horas semanales a los problemas y los ejerccios prácticos. Se efectuarán controles periódicos del aprendizaje mediante la resolución de problemas propuestos en la pizarra.
Sistema de evaluación
HEvaluación continua basada en el trabajo de cada alumno en clase y evaluación final mediante una prueba escrita fijada en el calendario de la facultad. Una evalución continua positiva eximirá de la realización del examen final. La prueba escrita consistirá en varias cuestiones teóricas, que pueden incluir definición de conceptos, enunciado de resultados o prueba total o parcial de los mismos, y varios problemas análogos a los propuestos en el curso.

Tiempo de estudio y trabajo personal
Horas presenciales:
30 horas teóricas
30 horas prácticas

Horas de trabajo autónomo:
30 horas de estudio teórico y práctico relacionado con la docencia presencial
30 horas de preparación de ejercicios y problemas

TOTAL: 120 horas de trabajo para el alumno