091584 - Topoloxía Alxébrica (OPCIÓN MATEMÁTICA PURA) - Curso 2011/2012

Información

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria RD 1497/1987
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: Segundo Cuadrimestre
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
Alcalde Cuesta, Fernando.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo P01	Ordinario	Prácticos	SI	NON
Grupo T01	Ordinario	Teóricos	SI	SI

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
A materia pretende ser unha introdución á Topoloxía Alxébrica, que permita presentar algúns dos seus métodos e ferramentas e aplicalos á resolución de problemas, especialmente xeométricos, pero tamén alxébricos.

Tras unha formación en Topoloxía Xeral, Xeometría Diferencial e Álxebra, esta materia proponse o estudo dos métodos da topoloxía alxébrica, que utilizan técnicas de todas esas materias e permiten resolver de forma elegante e eficaz problemas difíciles, pero de formulación sinxela, como a invariancia topolóxica da dimensión, o carácter libre de todo subgrupo dun grupo libre, teoremas de punto fixo, orientabilidade ou propiedades xeométricas das esferas.

A interrelación entre teorías diversas facilita a consolidación dos coñecementos adquiridos e o proceso de maduración matemática, favorecendo a súa comprensión unitaria e preparando ao estudante para posteriores desenvolvementos.

A Homoloxía asocia unha sucesión de grupos abelianos a cada espazo topolóxico, grupos que son invariantes topolóxicos do espazo. Estes grupos son calculables en moitos casos, as veces mesmo mediante un algoritmo computacional, e permiten deducir moitos resultados xeométricos. No curso, abordase o estudo da Homoloxía Singular, mostrandose a partir dun gran número de cálculos a súa potencia para resolver problemas xeométricos.

Contidos
11. CW-COMPLEXOS
Pegado de espazos. Adxunción dunha celda. Propiedades topolóxicas. CW-complexos. Propiedades topolóxicas. Exemplos: superficies pechadas compactas, espazos proxectivos reais e complexos, espazos lente.

2. HOMOLOXIA SINGULAR
Símplices. Grupos de homoloxía singular. Homoloxía reducida. Morfismo inducido por unha aplicación continua. Invariancia topolóxica. Homoloxía dun espazo contráctil. Homotopía de cadeas. Invariancia homotópica dos grupos de homoloxía. Modelos acíclicos. Relación co grupo fundamental .

3. SUCESION DE MAYER-VIETORIS
Sucesión exacta de Mayer-Vietoris. Homoloxía das esferas. Grao dunha aplicación entre esferas. Suspensión dun espazo topolóxico. Homoloxía da suspensión. Homoloxía das superficies compactas. Homoloxía dos espazos proxectivos reais e complexos. Sucesión exacta de Wang.

4. SUBDIVISION BARICENTRICA.
Símplices pequenos. Subdivisión baricéntrica dos símplices xeométricos. Subdivisión baricéntrica das cadeas singulares.

5. HOMOLOXIA RELATIVA
Grupos de homoloxía relativa. Sucesión exacta larga dun par. Teorema de escisión. Interpretación dos grupos de homoloxía relativa. Retorno a Mayer-Vietoris.

6. HOMOLOXIA DOS CW-COMPLEXOS.
O complexo celular. Homoloxía dos CW-complexos. Homoloxía das superficies compactas. Homoloxía dos espazos proxectivos e dos espazos lente. Límites directos.

7. APLICACIONS
Teoremas de Brouwer e Borsuk-Ulam. Puntos fixos e antipodais. Teorema de Poincaré. Indice de Poincaré dunha curva pechada no plano. Fórmula de Poincaré. Teoremas de Cauchy e D'Alembert. Teorema de separación de Jordan-Brouwer. Teorema de Brouwer de invariancia do dominio.

8. HOMOLOXIA DUN PRODUCTO
Fórmula de Künneth. Teorema de Eilenberg-Zilber.

Bibliografía básica e complementaria
ARMSTRONG M.A., Topología Básica. Editorial Reverté,1986.
BREDON G.E., Topology and Geometry. Springer-Verlag, 1993.
CROOM F.H., Basic Concepts of Algebraic Topology. Springer-Verlag.
DOLD A., Lectures on Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1972.
DUBROVIN B.A., FOMENKO A.T. and NOVIKOV S.P., Modern Geometry. Methods and Applications. Springer, 1985
DUGUNDJI J.,Topology. Allyn and Bacon Inc., 1966.
EILENBERG S. and STEENROD N., Foundations of Algebraic Topology. Princeton University Press, 1951.
FULTON W., Algebraic topology : a first course. Springer-Verlag, 1995.
GODBILLON C., Éléments de Topologie Algébrique. Hermann, 1971.
GREENBERG M.J., Lectures on Algebraic Topology. Benjamin, 1967.
GREENBERG M.J. and HARPER J.R., Algebraic Topology: a first course. Benjamin, 1981.
HATCHER A., Algebraic topology. Cambridge University Press, 2002.
HILTON P.J. and WYLIE S. Homology Theory. Cambridge University Press, 1965.
HOCKING J.G. and YOUNG G.S.,Topology, Addison-Wesley, 1961.
KOSNIOWSKI C.,Topología Algebraica. Editorial Reverté, 1986.
MASSEY W.S., Introducción a la Topología Algebraica. Editorial Reverté, 1972.
MASSEY W.S., A Basic Course in Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1977.
MASSEY W.S., Singular Homology Theory. Springer-Verlag, 1980.
MAY J.P., A Concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, 1999.
MUNKRES J.R., Elements of Algebraic Topology. Addison-Wesley, 1975.
SPANIER E., Algebraic Topology. Springer-Verlag, 1982.
STEENROD N., The Topology of Fibre Bundles. Princeton University Press, 1951.
VICK J.W., Homology Theory. Addison-Wesley, 1983.

Competencias
Utilizar a técnicas homolóxicas para abordar problemas xeométricos. Ser capaz de calcular os grupos de homoloxía dun bo número de espazos.

Coñecer exemplos e contraexemplos de espazos que ilustren as propiedades estudadas.

Como competencia transversal, adicarase atención ao uso da lingua inglesa, propoñendo lecturas axeitadas e insistindo na presencia do léxico matemático en inglés.

Metodoloxía da ensinanza
No curso, farase especial fincapé no tratamento dos exemplos e das aplicacións xeométricas. Adicaranse 2 horas de clase semanais aos aspectos teóricos e outras 2 horas semanais aos problemas e os exercicios prácticos. Realizaranse controles periódicos da aprendizaxe mediante a resolución dos problemas propostos no encerado.



Sistema de evaluación
Avaliación continuada baseada no traballo de cada alumno na aula e avaliación final mediante unha proba escrita fixada no calendario da facultade. Unha avaliación continuada positiva eximirá da realización do exame final. A proba escrita consistirá en varias cuestións teóricas, que poden incluír a definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial dos mesmos, e varios problemas análogos aos resoltos no curso.
Tempo de estudo e traballo persoal
Horas presenciais:
30 horas teóricas
30 horas prácticas

Horas de traballo autónomo:
30 horas de estudo teórico e práctico relacionado coa docencia presencial
30 horas de preparación dos exercicios e dos problemas

TOTAL: 120 horas de traballo para o alumno