P1141101 - Álxebra Conmutativa (Módulo I: Materias Obrigatorias) - Curso 2011/2012

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 18.00
• Clase Interactiva Seminario: 24.00
• Horas de Titorías: 6.00
• Total: 48.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007
• Departamentos: Álxebra
• Áreas: Álxebra
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 1º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: Primeiro Curso (1º 1ª vez)

Profesores

Nome	Coordinador
Villanueva Novoa, Emilio.	SI
Villanueva Novoa, Emilio.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Objetivos de la asignatura

- Conocer los elementos básicos de la teoría de anillos conmutativos y sus ideales, con especial énfasis en los anillos de polinomios, así como de sus cocientes y localizaciones.
- Introducir las técnicas algébricas básicas para emplear en Geometría Algébraica y en Teoría de Números.

Contenidos

1. Anillos conmutativos, módulos y localización.
Ideales. Espectro primo de un anillo commutativo. Anillos y módulos de fracciones. Ideales en anillos de fracciones. Propiedades locales.

2. Condiciones de cadena.
Anillos noetherianos y artinianos. Anillos noetherianos: Localización y álgebras de tipo finito (Teorema de la base de Hilbert). Criterios para determinar si un anillo es noetherianos. Módulos de longitud finita. Anillos artinianos.

3. Descomposición primaria.
Ideales primarios, propiedades. Teoremas de unicidad de descomposición primaria. Teorema de existencia de descomposición primaria para anillos noeterianos.

4. Dependencia enteira.
Extensiones enteras de anillos. Anillos integramente cerrados. Primos en una extensión entera: Teoremas de ascenso y descenso.

5. Valoraciones. Dominios de Dedekind.
Anillos de valoración. Anillos de valoración discreta. Dominios de Dedekind: Ideales fraccionarios, grupos de clases de ideales.

6. K-álgebras afínes.
Teorema de los ceros de Hilbert. Lema de normalización de Noether.

7. Dimensión.
Dimensión de Krull. Dimensión de K-álgebras afines. Teorema del ideal principal de Krull generalizado. Dimensión de anillos noetherianos locales. Dimensión de Chevalley. Anillos locales regulares.

Apéndice.
A1.- Grado del polinomio de Hilbert-Samuel. Teorema de la dimensión.
A2.- Caracterización homológica de los anillos loceles regulares: Teorema de Auslander-Buchsbaum-Serre.



Bibliografía básica y complementaria
M. F. Atiyah e I. G. MacDonald, Introducción al álgebra conmutativa, Ed. Reverté, 1973.
N. Bourbaki, Commutative algebra, Chap I-VII, Springer Verlag, 1989.
D. Eisenbud, Commutative algebra with a view toward algebraic geometry, GTM, Springer, 1995.
J. A. Hermida, M. L. Pérez e J. G. Tena, Álgebra local, Univ. de Valladolid, Secreteriado de Publicaciones, 1985.
E. Kunz, Introduction to commutative algebra and algebraic geometry, Birkhäuser, 1985.
H. Matsumura, Commutative Algebra (2 ed.), Benjamin, 1980.
H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press, 2004.
R. Y. Sharp, Steps in commutative algebra (2 ed.), London Math, Soc. Student Texts 51, Cambridge U. P., 2000.
O. Zariski e P. Samuel, Commutative algebra I, II, GTM 28, 29, reimpresión de Van Nostrand de 1958, 1959.

Competencias

Dominar los razonamientos básicos con anillos conmutativos y con sus módulos e ideales.

Manegar los anillos definidos mediante cocientes de anillos de polinomios.

Comprender la importancia de los anillos conmutativos en la geometría algebraica y en la aritmética, especialmente en la teoría de números algebraicos.

Saber resolver problemas y explicar un temario de iniciación al álgebra conmutativa.


Metodología de la enseñanza
- Clases de teoría con exposición por parte del profesor.
- Sesiones de problemas en las que los estudiantes proponen sus soluciones y se debaten conjuntamente las correcciones con la orientación del profesor.
- Exposiciones de temas del programa por parte de los alumnos.


Sistema de evaluación
- Realización de ejercicios propuestos y exposición de sus soluciones en clase.
- Exposiciones de temas en clase.
- Pruebas escritas si son necesarias, dependiendo del número de alumnos.


Tiempo de estudio y trabajo personal
Unas 10 horas semanales de trabajo (150 horas por cuatrimestre, incluyendo en ellas las clases presenciales que serán entre 3 y cuatro por semana).