G1011107 - Linguaxe Matemática, Conxuntos e Números (Formación Básica Transversal) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 30.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 13.00
• Clase Interactiva Seminario: 15.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Álxebra
• Áreas: Álxebra
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 1º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: Primeiro Curso (1º 1ª vez)

Profesores

Nome	Coordinador
Franco Fernández, Leoncio.	SI
GARCIA RODICIO, ANTONIO.	NON
JEREMIAS LOPEZ, ANA.	NON
JEREMIAS LOPEZ, ANA.	NON
MAJADAS SOTO, JOSE JAVIER.	NON

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLE02	Ordinario	Clase Expositiva	SI	NON
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_05	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_06	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_02	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_03	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_04	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS07	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS08	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS09	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS10	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS11	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Esta é unha materia sobre os fundamentos das matemáticas que ofrece unha preparación para as demais materias da titulación de matemáticas. O alumnado desenvolverá bos hábitos de comprensión, comunicación e escritura matemáticas. Nela traballaranse métodos e técnicas de razoamento, principalmente de matemática discreta. Estes métodos aplicaranse para resolver varios problemas interesantes. Poderiase dicir que se trata dunha materia sobre entender e pensar, e non sobre calcular e memorizar regras.
O programa explora temas que involucran números, conxuntos e funcións. Con propiedades elementais deles, e a lóxica como base, pasamos á inducción e á cardinalidade. En matemática discreta consideramos as técnicas de conteo. O estudio dos números naturais inclúe as propiedades de divisibilidade e a aritmética modular.

Contidos
1. Introdución á lóxica matemática. (1 semana)
1.1. Necesidade e importancia da linguaxe lóxica: Paraloxismos.
1.2. Lóxica proposicional: Proposicións atómicas e moleculares.
1.3. Táboas de verdade. Tautoloxías e contradicións.
1.4. O proceso de dedución. Razoamentos e demostracións formais no cálculo proposicional.

2. Conxuntos. (2 semanas)
2.1. Conxuntos e elementos. Subconxuntos: Partes dun conxunto.
2.2. Representacións gráficas: Diagramas de Venn.
2.3. Conxunto referencial. Operacións con conxuntos: Propiedades. A álxebra de Boole das partes dun conxunto.
2.4. Recubrimento e partición. Unión disxunta e produto cartesiano.

3. Relacións. (3 semanas)
3.1. Noción de relación. Composición de relacións. Relación inversa.
3.2. Representacións gráficas.
3.3. Relacións binarias nun conxunto: Propiedades. Relación inducida.
3.4. Relacións de equivalencia:
– Clases de equivalencia: Propiedades. Conxunto cociente.
3.5. Relacións de orde:
– Representacións gráficas: Diagramas de Hasse (árbores).
– Orde total e parcial.
– Elementos destacados nun conxunto ordenado.
– Cadeas, retículos e conxuntos ben ordenados.

4. Aplicacións. (2 semanas)
4.1. Concepto de aplicación. Gráfica dunha aplicación: Exemplos.
4.2. Tipos de aplicacións: Inxectiva, sobrexectiva e bixectiva.
4.3. Composición de aplicacións: Propiedades. Aplicación inversa.
4.4. Factorización canónica dunha aplicación.
4.5. Extensións dunha aplicación ao conxunto de partes.

5. Combinatoria. (2 semanas)
5.1. Variacións. Variacións con repetición.
5.2. Números factoriais. Permutacións. Permutacións con repetición.
5.3. Números combinatorios. Combinacións.
5.4. Combinacións con repetición.
5.5. Principio de inclusión-exclusión. Enumeración das aplicacións sobrexectivas.
5.6. O binomio de Tartaglia-Pascal. O binomio de Newton.

6. Conxuntos infinitos. (2 semanas)
6.1. Conxuntos finitos e infinitos.
6.2. Os números naturais como clases de conxuntos finitos equipotentes.
6.3. Principio de indución. Operacións e orde en N.
6.4. Conxuntos numerables e non numerables. Os números racionais. O procedemento diagonal e a non numerabilidade de R.
6.5. O axioma de elección e o lema de Zorn.

7. Aritmética enteira e modular. (3 semanas)
7.1. Operacións binarias.
7.2. Números enteiros e estrutura de (Z,+). Propiedades de Z.
7.3. Divisibilidade. Números primos e o teorema fundamental da aritmética.
7.4. Máximo común divisor e mínimo común múltiplo. Teorema de Bezout.
7.5. Algoritmo de Euclides. Algoritmo de Euclides estendido.
7.6. Aritmética modular. Os aneis Z/(n). Congruencias. Unidades módulo n. O teorema de Euler-Fermat.
7.7. Números enteiros coprimos: O teorema chinés dos restos.
7.8. Resolución de ecuacións diofánticas lineais. Triples pitagóricos.
7.9. Polinomios nuha variable.
Bibliografía básica e complementaria
Bibliografía básica:
J.P. D’Angelo, D. B. West; Mathematical Thinking: Problem-Solving and Proofs, 2ª ed., Prentice Hall, 2000.
V. Fernández Laguna: Teoría básica de conjuntos, Anaya, 2004.
M. A. Goberna, V. Jornet, R. Puente, M. Rodríguez; Álgebra y Fundamentos: una Introducción, Ariel, 2000.
K. H. Rosen; Matemática Discreta y sus Aplicaciones, 5ª ed., McGraw-Hill, 2004.


Bibliografía complementaria:
M. Anzola, J. Caruncho; Problemas de Álgebra (Conjuntos-Estructuras), BUMAR, 1982.
R. Courant, H. Robbins; What Is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods, 1941
(2ª ed., rev. por Ian Stewart, Oxford University Press, 1996).
Tr.: ¿Qué es la Matemática?, FCE, 2003.
T. S. Blyth, E. F. Robertson; Sets, Relations and Mappings, Cambridge University Press, 1984.
H. Rademacher, O. Toeplitz; Números y Figuras. Alianza editorial, 1970.






Competencias
Coñecer e manexar conceptos e resultados básicos de aritmética enteira e modular, da linguaxe proposicional e razoamento lóxico. Comprender a necesidade das demostracións rigorosas en matemáticas e saber aplicar distintos métodos de demostración, incluíndo demostracións por indución e por redución ao absurdo. Identificar erros en razoamentos incorrectos propoñendo demostracións ou contraexemplos. Coñecer a linguaxe básica da teoría de conxuntos e as propiedades fundamentais das relacións de orde e equivalencia e das aplicacións e saber manexar con soltura exemplos de todos estes conceptos. Comprender as propiedades dos coeficientes binomiais e saber resolver problemas combinatorios básicos. Coñecer as propiedades estruturais básicas dos números enteiros, racionais, reais e complexos. Saber resolver problemas sinxelos de aritmética modular e ecuacións diofánticas lineais. Coñecer as propiedades básicas dos polinomios e saber operar con eles. Comprender o concepto de numerabilidade e saber identificar conxuntos numerables e non numerables.
Metodoloxía da ensinanza
A distribución semanal da materia será a seguinte: 2 horas de clase de teoría, 1 hora de clase de problemas e 1 hora de titoría (estas dúas eventualmente con ordenador).
As clases de taboleiro en grupo grande adicaranse a exposición dos contidos fundamentais da disciplina, coa exposición da teoría, resolución de problemas e presentación dalgúns exercicios.
As clases de taboleiro en grupo reducido tratarán de aspectos complementarios da materia, realización de problemas e exercicios e a súa corrección por parte do profesor.
Nas titorías en grupo reducido o protagonismo fundamental será dos alumnos, que deberán presentar exercicios e exposicións dalgún tema relacionado coa materia.
Nas titorías en grupo moi reducido farase un seguimento personalizado da aprendizaxe dos alumnos.

Sistema de evaluación
Ao longo do curso poderase realizar exercicios calificables nas clases. A puntuación conxunta destas actividades xunto coa participación activa nas clases representará o 25% de nota final, saíndo o 75% restante do exame final, sempre coas limitacións recollidas na Memoria do Grao en Matemáticas a este respecto.
Estas mesmas porcentaxes serán de aplicación no período extraordinaro de xullo.
As probas escritas conterán preguntas de teoría, cuestións teórico-prácticas e exercicios.
Tempo de estudo e traballo persoal
Horas presenciais:
Clases en grupo grande (teoría): 30 horas.
Clases interactivas de problemas en grupos pequenos: 15 horas.
Clases interactivas de laboratorio de problemas en grupos pequenos: 13 horas.
Titorías en grupo moi reducido: 2 horas.
Total horas presenciais: 60

Horas de traballo persoal do alumno:
50 horas: Estudo autónomo individual o en grupo.
40 horas: Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos.


Total volumen de traballo: 150 horas.
Recomendacións para o estudo da materia
Asistencia continuada ás clases. Traballar individual ou colectivamente todas e cada unha das cuestións indicadas nas clases. Aproveitar ás titorías tan pronto como xurdan dificultades.