G1011110 - Topoloxía dos Espazos Euclidianos (Topoloxía) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 30.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 13.00
• Clase Interactiva Seminario: 15.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: Primeiro Curso (1º 1ª vez)

Profesores

Nome	Coordinador
Alcalde Cuesta, Fernando.	NON
Díaz Ramos, José Carlos.	NON
Díaz Ramos, José Carlos.	NON
OUBIÑA GALIÑANES, JOSE ANTONIO.	SI
Torres Lopera, Juan Francisco.	NON

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLE02	Ordinario	Clase Expositiva	SI	NON
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_05	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_06	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_02	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_03	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_04	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS07	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS08	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS09	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS10	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS11	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
O estudo da topoloxía da recta real iniciouse na materia de "Introdución á Análise Matemática" e, no que fai á continuidade, desenvólvese na materia "Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variábel real". Agora, nesta materia,vaise abordar o estudo da topoloxía non soamente da recta real, mais tamén dos espazos euclidianos de calquera dimensión. Ademais, farase un tratamento máis sistemático das cuestións consideradas.
Trátase de estudar conceptos, métodos e propiedades métricos e, fundamentalmente, topolóxicos en R^p, partindo da súa estrutura euclidiana. Os principais conceptos que se van estudar son os de completitude, continuidade, conexidade e compacidade, facendo especial fincapé nas técnicas de converxencia de sucesións, que son as técnicas xa empregadas nos estudos previos.
Contidos
Tema 1 Os espazos euclidianos (0,5 créditos)
1.1 Produto escalar e norma euclidiana
1.2 Desigualdades de Cauchy-Schwarz e de Minkowski
1.3 Distancia euclidiana. Propiedades; a desigualdade triangular
1.4 Bólas abertas
1.5 Distancia entre conxuntos. Conxuntos limitados. Diámetro

Tema 2 A topoloxía do espazo euclidiano (0,75 créditos)
2.1 Definición de conxunto aberto
2.2 Propiedades características dos conxuntos abertos
2.3 Conxuntos pechados.
2.4 Espazos e subespazos. Abertos relativos

Tema 3 Converxencia (0,5 créditos)
3.1 Sucesións. Sucesións converxentes. Subsucesións.
3.2 Converxencia e topoloxía: puntos de acumulación.

Tema 4 Completitude (0,75 créditos)
4.1 Sucesións de Cauchy
4.2 A completitude de R: principio do supremo e postulado dos intervalos encaixados
4.3 Teorema de Bolzano-Weierstrass
4.4 Completitude do espazo euclidiano

Tema 5 Continuidade (1 crédito)
5.1 De_nición de continuidade
5.2 Continuidade secuencial
5.3 Composición de funcións continuas. Restrición

Tema 6 Continuidade Global (0,5 créditos)
6.1 Caracterización global da continuidade
6.2 Función combinada

Tema 7 Propiedades topolóxicas (0,25 créditos)
7.1 Homeomorfismos.
7.2 Propiedades topolóxicas

Tema 8 Conexidade (0,75 créditos)
8.1 Espazos conexos
8.2 O Teorema do valor intermedio

Tema 9 Compacidade (1 crédito)
9.1 Compacidade. Compacidade secuencial
9.2 Caracterización dos conxuntos compactos no espazo euclidiano
9.3 O Teorema do máximo e do mínimo
9.4 Continuidade uniforme



Bibliografía básica e complementaria
Bibliografía básica

MASA VÁZQUEZ, X.M. Topoloxía xeral. Introducción aos espazos euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, Universidade de Santiago de Compostela, 1999.

Bibliografía complementaria

BARTLE, R.G. Introducción al Análisis Matemático. Ed. Limusa. México, 1980

BUSKES, G. AND VAN ROOIJ, A. Topological spaces. Springer, 1996

CHINN, W.G. and STEENROOD, N.E. Primeros conceptos de Topología. Ed. Alhambra, 1975.

SUTHERLAND, W.A. Introduction to metrics and topological spaces. Clarendon Press. Oxford, 1975.


Competencias
Unha das ferramentas que utilizaremos de forma máis reiterada será a converxencia de sucesións. Esa será a primeira competencia curricular que sinalamos, que podería enunciarse como capacidade de aplicar a converxencia de sucesións á caracterización de propiedades topolóxicas. Isto require unha boa comprensión do concepto de límite, primeiro; require ser capaz de identificar sucesións converxentes; require ser capaz de construír sucesións converxentes relevantes para a cuestión en estudo; ser capaz, en fin, de relacionar a converxencia coa propiedade considerada, ideando a oportuna demostración.
A segunda competencia curricular ten que ver coa continuidade das funcións máis comúns no ámbito dos espazos euclidianos. Trátase de identificar funcións continuas ou discontinuidades de funcións, de describir funcións xeometricamente, dispor de exemplos de funcións que ilustren propiedades diversas, ou expresar analiticamente transformacións xeométricas sinxelas.
Os resultados máis profundos do programa relaciónanse cos conceptos de compacidade e conexidade. é tamén o marco no que se obteñen as aplicacións máis fortes da teoría desenvolta. Coñecer esta teoría abstracta e comprender o papel determinante que estas nocións desempeñan nas aplicacións consideradas é a terceira competencia curricular. Na súa expresión máis sinxela, o resultado típico dirá que toda función real continua con dominio un intervalo pechado alcanza o máximo, o mínimo e calquera valor intermedio. Aprenderase que as únicas propiedades necesarias do intervalo son a conexidade e a compacidade. É unha mostra dun dos aspectos máis característicos da matemática: como a solución de problemas, ás veces de formulación simple, require a miúdo de teorías moi abstractas.
Ademais destas competencias estritamente curriculares, no curso vanse traballar outras dúas.
A primeira céntrase na linguaxe das matemáticas, nunha dobre vertente: comprender os enunciados cos que se traballa, diferenciar hipóteses, tese e demostración, comprender o valor dos exemplos e dos contra-exemplos,... Doutra parte trátase de incidir na expresión matemática formal, acadar unha escritura medianamente correcta, evitando mesturar a linguaxe informal coa sintaxe lóxica formal.
A segunda competencia non curricular terá que ver coas estratexias de aprendizaxe, tratando de inculcar a práctica de pensar por un mesmo, por unha mesma, do esforzo na comprensión, analizando exemplos concretos, do empeño na resolución de exercicios, evitando a dinámica de buscar onde ler a solución, adquirir o hábito do esforzo por encontrar o camiño, de xeito que cada estudante poida chegar a elaborar demostracións propias de cuestións sinxelas, non porque as recorde, senón pola pericia que teña acadado.


Metodoloxía da ensinanza
O traballo na aula co grupo grande consiste, fundamentalmente, en docencia impartida polo profesorado. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo á exposición ou ilustración dalgunha cuestión teórica, e outro tempo á resolución de problemas ou exercicios. As veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, as veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas.
Na docencia presencial en grupos reducidos preténdese unha maior participación activa das e dos estudantes. Poderá ter formatos diversos, ás veces abordaranse cuestións preparadas polos estudantes, non explicadas previamente; ás veces adicarase á discusión monográfica de cuestións de difícil comprensión. . . En xeral, terá unha orientación máis práctica que as sesións en grupo grande.
Nas titorías na aula darase preferencia á exposición por parte das e dos estudantes. Adicaranse, fundamentalmente, a resolver os exercicios e problemas propostos.
As titorías en grupos moi reducidos adicaranse, de forma individual ou en grupos, a resolver as dúbidas e dificultades particulares que vaian xurdindo, e ao seguimento individualizado de cada estudante.
Periódicamente, demandarase a entrega por escrito de boletíns de exercicios ou cuestións.


Sistema de evaluación
Haberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da facultade, de realización obrigatoria; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula e nas cualificacións obtidas nos boletíns entregados.

A nota final estará formada nun 35% pola avaliación continua e nun 65% pola nota do exame final, tendo en conta as restriccóns recollidas na memoria do grao de matemáticas.
Para o exame final a celebrar en xuño terá unha segunda oportunidade no mes de xullo quen non supere a materia.

O exame terá unha parte de teoría, que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.
Indicativamente, cada parte terá un peso de entre un 40 e un 60% do total.

Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases de encerado en grupo grande 30
Clases de encerado en grupo reducido 15
Titorías en grupo reducido sin ordenador/laboratorio 13
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas 2
Total horas traballo presencial 60

TRABALLO PERSOAL DO, DA ESTUDANTE
Estudo autónomo 65
Escritura de exercicios ou outros traballos 15
Lecturas recomendadas ou similar 10
Total horas traballo persoal 90


Recomendacións para o estudo da materia
No curso adícase moito tempo á resolución de exercicios. Obviamente, considérase un aspecto fundamental na aprendizaxe da materia. Isto non debe conducir a pensar que a teoría ten menos importancia: ben ao contrario, a teoría é a pedra angular da formación. Haberá que manexar certo número de definicións e resultados, que se terán que asimilar nun período breve de tempo. As demostracións dos resultados axudan a comprendelos mellor e permiten familiarizarse coas técnicas máis importantes; deben constituír un dos compoñentes fundamentais do estudo da materia. O outro, certamente, será o empeño na resolución dos exercicios.
Observacións
Existirá un curso virtual de apoio á docencia desta materia