G1011228 - Series Funcionais e Integración de Riemann en varias Variables Reais (Análise Matemática en Varias Variables) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 30.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 18.00
• Clase Interactiva Seminario: 10.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Análise Matemática
• Áreas: Análise Matemática
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
Fugarolas Villamarín, Manuel Antonio.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLE02	Ordinario	Clase Expositiva	SI	NON
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_02	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_03	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS07	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS08	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ás sucesións e series funcionais, que teñen unha importancia fundamental na análise matemática e, máis inmediatamente para o alumno, noutras materias do Grao en Matemáticas, como as relativas á análise complexa, análise funcional, integración de Lebesgue e series de Fourier.
Ampliar os coñecementos teóricos e prácticos relativos á integración de funcións reais, presentando os conceptos e técnicas básicas das integrais impropias de funcións dunha variable real e das integrais múltiples no sentido de Riemann. O dominio desta parte do curso é imprescindible para poder seguir con normalidade a materia Cálculo vectorial e Integración de Lebesgue (terceiro curso).
Empregar algún tipo de software para unha mellor comprensión e visualización das principais ideas do curso e para o cálculo efectivo de límites, sumas e integrais.

Contidos
I) SUCESIÓNS E SERIES FUNCIONAIS (20 horas aprx.)

1.1 Sucesións de funcións.
Converxencia puntual e uniforme. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade do límite.

1.2 Series de funcións.
Converxencia puntual, absoluta e uniforme dunha serie de funcións. Condición de Cauchy para a converxencia uniforme dunha serie. Criterio maiorante de Weierstrass. Resultados de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da suma.

1.3 Series de potencias.
Radio de converxencia. Teorema de Cauchy-Hadamard. Converxencia uniforme. Propiedades de continuidade, derivabilidade e integrabilidade da suma. Series de Taylor. Funcións analíticas.


II) INTEGRAIS IMPROPIAS DE FUNCIÓNS DUNHA VARIABLE REAL (20 horas aprx.)


2.1 Integrais impropias.
Integración en intervalos non compactos. Integrais converxentes e diverxentes. Propiedades da integral impropia. Condición de Cauchy para a converxencia dunha integral.

2.2 Criterios de converxencia.
Caracterización da converxencia de integrais de funcións non negativas. Criterios de comparación, comparación por cociente e comparación por paso ao límite. Estudio dalgunhas integrais de referencia. Converxencia e converxencia absoluta de integrais. Criterio de Weierstrass.


III) INTEGRAL MÚLTIPLE DE RIEMANN (20 horas aprx.)


3.1 Integral de Riemann en intervalos de Rn.
Particións dun intervalo. Sumas de Darboux. Integrais inferior e superior. Funcións R-integrables e integral de Riemann. Propiedades da integral. Sumas de Riemann. Teorema de Riemann.

3.2 Funcións Riemann integrables nun intervalo.
Conxuntos de contenido nulo e de medida nula. Oscilación dunha función nun punto. Caracterización de Lebesgue da integrabilidade no sentido de Riemann.

3.3 Integración en conxuntos Jordan medibles.
Conxuntos J-medibles. Integración en conxuntos J-medibles. Funcións R-Integrables en conxuntos medibles. Propiedades da integral de Riemann.

3.4 Cálculo integral.
O teorema de Fubini. O teorema de cambio de variable. Coordenadas polares, esféricas e cilíndricas. Derivación baixo o signo integral.

Bibliografía básica e complementaria
R. G. Bartle, D. R. Sherbert. “Introducción al Análisis Matemático de una variable”. Ed. Limusa.
R. G. Bartle. “Introducción al Análisis Matemático”. Ed. Limusa.
M. N. Bentabol, J.Margalef, E.Outerelo, Análisis Metemático, Cálculo Integral en espacios euclídeos, Piramide. 1982.
F. Bombal, L .R. Marín, G.Vera. “Problemas de Análisis Matemático. Vol. 3: Cálculo integral”. Ed. AC.
J. de Burgos. “Cálculo infinitesimal de una variable”. Ed. McGraw-Hill.
J. de Burgos. “Cálculo infinitesimal de varias variables”. Ed. McGraw-Hill.
J.A. Fernández Viña, Análisis Matemático III, Integración y Cálculo exterior,Tecnos 1992.
J.A. Fernández Viña, Eva Sánchez Mañes, Ejercicios y Complementos de Análisis Matematico III.
Tecnos, 1994.
Competencias
Ademais de contribuir a acadar as competencias xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, esta materia permitirá acadar as seguintes competencias específicas:
• Utilizar a análise de sucesións e series funcionais, sendo competencias principais a acadar nesta parte as de distinguir as nocións de converxencia puntual e uniforme, e coñecer baixo que condicións o límite (a suma) funcional herda as propiedades de regularidade da sucesión (serie) funcional correspondente.
• Determinar o carácter converxente ou diverxente de integrais impropias, e calculalas con soltura.
• Coñecer a construción da integral de Riemann de funcións de varias variables en conxuntos Jordan medibles.
• Determinar o carácter integrable no sentido de Riemann de funcións de varias variables en conxuntos medibles no sentido de Jordan.
• Dominar o cálculo das integrais múltiples en conxuntos medibles no sentido de Jordan, empregando o teorema de Fubini en distintos ordeamentos das variables, e o teorema de cambio de variable coas transformacións máis habituais (polares no plano, cilíndricas e esféricas no espazo).
• Utilizar algún tipo de software para o apoio á visualización e aos cálculos aos que se refiren os puntos anteriores.

Metodoloxía da ensinanza
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
A docencia está programada en clases teóricas, prácticas en grupo reducido, prácticas con ordenador en grupo reducido e titorías. Nas clases teóricas e prácticas se presentarán os contidos esenciais da disciplina, se resolverán problemas e se programarán actividades de realización voluntaria. As titorías dedicaranse á discusión e debate cos estudantes, e á resolución das tarefas propostas coas que se pretende que os estudantes practiquen e afiancen os seus coñecementos. Nas clases con ordenador utilizarase o programa MAPLE como ferramenta de traballo.

Sistema de evaluación
Seguirase o criterio xeral de avaliación establecido na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. Para o cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a cualificación da avaliación continua (AC) e a cualificación do exame final (EF), e se aplicará a fórmula CF = max(EF, 0’75*EF+0’25*AC). Nótese que deste xeito a cualificación final nunca será inferior á do exame final.
A avaliación continua consistirá na realización voluntaria de controis escritos ou traballos encargados polo profesor sobre aspectos prácticos ou teóricos da materia, que poderán ser individuais ou en grupo.

Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Clases de encerado en grupo grande 30 h.
Clases de encerado en grupo reducido 10 h.
Clases con ordenador/laboratorio en grupo reducido 5 h.
Titorías en grupo reducido sen ordenador 10 h.
Titorías en grupo reducido con ordenador/laboratorio 3 h.
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas 2 h.

Total horas traballo presencial na aula 60 h.


TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO
Estudo autónomo individual ou en grupo 60 h.
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos 20 h.
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio 10 h.

Total horas traballo persoal do alumno 90 h.

Recomendacións para o estudo da materia
Para estudar esta materia é importante dominar os contidos das seguintes: Introducción á análise matemática; Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real; Integración de funcións dunha variable real; Diferenciación de funcións de varias variables reais.

Por outra parte, recoméndase estudar con regularidade, levando a materia ao día, e realizar todas as actividades que se propoñan nas aulas. Tamén é moi importante consultar todas as dúbidas que vaian xurdindo ao longo do estudo.