G1011321 - Cálculo Vectorial e Integración de Lebesgue (Análise Matemática en Varias Variables) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 30.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 12.00
• Clase Interactiva Seminario: 15.00
• Horas de Titorías: 3.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Análise Matemática
• Áreas: Análise Matemática
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 1º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
CABADA FERNANDEZ, ALBERTO.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_02	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo CLIS_03	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS07	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Comprender, coñecer e manexar os principais conceptos, resultados e métodos relativos ó calculo vectorial e á integral de Lebesgue de varias variables reais. Estes conceptos teñen unha importancia fundamental na análise matemática así como noutras materias do Grao en Matemáticas, como son as relativas á xeometría diferencial, ás ecuacións diferenciais e á matemática aplicada.

Contidos
Cálculo vectorial:

1.1 (8 horas) Campos escalares e vectoriais. Gradiente, diverxencia e rotacional. Identidades básicas da análise vectorial. Fluxo asociado a un campo vectorial. Campos gradientes e función potencial.

1.2 (10 horas) Curvas paramétricas en Rn. Curvas regulares e regulares a anacos. Vector tangente. Integral de liña dun campo escalar. Lonxitude dunha curva. Curvas orientadas. Integral de liña dun campo vectorial. Equivalenza de curvas e de curvas orientadas. Teoremas fundamentais do cálculo para a integral de liña. Caracterización dos campos conservativos.

1.3 (8 horas) Superficies paramétricas en R3. Superficies regulares. Vector normal. Superficies orientables. Integral de superficie dun campo escalar. Área dunha superficie regular. Integral de superficie dun campo vectorial. Superficies equivalentes.

1.4 (7 horas) Teoremas de Green, Stokes e Gauss. Consecuencias e aplicacións.

Integración de Lebesgue:

2.1 (6 horas) Medida exterior dun subconxunto de Rn. Conxuntos Lebesgue medibles e medida de Lebesgue. Conxuntos de medida cero. A sigma-álxebra dos conxuntos L-medibles. Propiedades da medida de Lebesgue.

2.2 (7 horas) Funcións medibles. Propiedades. Funcións simples medibles. Aproximación dunha función medible por funcións simples medibles. Teorema de Egorov. Teorema de Lusin.

2.3 (8 horas) Integral de funcións simples medibles non negativas. Integral de funcións medibles non negativas. Propiedades. Teorema da converxenza monótona. Lema de Fatou. Funcións Lebesgue integrables e integral de Lebesgue. Propiedades da integral de Lebesgue. Teorema da converxenza dominada. O espazo L1.

2.4 (6 horas) Relación entre as integrais de Riemann e de Lebesgue. Teoremas de Tonelli e Fubini. Teorema de cambio de variable.


Bibliografía básica e complementaria
Apostol, T. M.: “Calculus, volumen 2”. Ed. Reverté. 1973.
Bombal, F.; Marín, R.; Vera, G.: “Problemas de Análisis Matemático, 3. Cálculo Integral”. Ed. AC. 1987.
Del Castillo, F.: “Análisis Matemático II”. Ed. Alhambra. 1987.
Fernández Viña, J. A.: “Análisis Matemático III. Integración y cálculo exterior”. Ed. Tecnos. 1992.
Kurtz, D. S., Swartz, Ch. W.: “Theories of integration. The integrals of Riemann, Lebesgue, Henstock-Kurzweil, and Mcshane”. Series in Real Analysis, 9. World Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, NJ, 2004.
Mardsen, J.E.; Tromba, A. J.: “Cálculo Vectorial”. 5ª edición. Ed. Addison Wesley. 1987.
Competencias
Ademais de contribuír a acadar as competencias xerais e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, esta materia céntrase nas seguintes competencias específicas:

• Manexar os conceptos de fluxo, diverxencia e rotacional dun campo vectorial, así como o seu significado dinámico.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de liña de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Coñecer os conceptos e propiedades da integral de superficie de campos escalares e vectoriais, e a súa aplicación práctica en exemplos concretos.
• Comprobar sobre exemplos a verificación dos teoremas de Green, Stokes e Gauss.
• Coñecer a construción da medida e da integral de Lebesgue para funcións de varias variables reais.
• Ter a capacidade de determinar sobre exemplos o carácter Lebesgue medible de conxuntos e funcións, así como a integrabilidade de funcións en conxuntos medibles.
• Dominar os teoremas de converxenza da integral de Lebesgue e ter a capacidade de aplicalos en casos concretos.
• Comprender a relación existente entre as integrais de Riemann e Lebesgue, e a importancia do proceso de extensión que supón a consideración desta última.
• Coñecer e utilizar os teoremas de Fubini e cambio de variable na integral de Lebesgue.
Metodoloxía da ensinanza
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
A docencia está programada en clases expositivas, interactivas de seminario e laboratorio e titorías en aula. Nas clases expositivas serán presentados os contidos esenciais da disciplina, nas interactivas serán propostos e resoltos os problemas e serán programadas distintas actividades de realización voluntaria. As titorías dedicaranse á resolución de dúbidas e á discusión e debate cos estudantes das tarefas propostas coas que se pretende que se practiquen e afiancen os coñecementos impartidos ó longo da materia.
Sistema de evaluación
Seguirase o criterio xeral de avaliación establecido na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.
Para o cómputo da cualificación final (CF) teranse en conta a cualificación da avaliación continua (AC) e a cualificación do exame final (EF), e se aplicará a fórmula CF = AC/4+(1-AC/40)*EF. Para detalles desta formulación pode consultarse o traballo:
Xavier Bardina, Eduardo Liz, "Matemáticas y evaluación", MATerials MATemàtics, 2011, 6, 19 pp. http://www.mat.uab.cat/matmat/PDFv2011/v2011n06.pdf
No exame final, escrito, medirase o coñecemento acadado polo alumnado en relación ós conceptos e resultados da materia, tanto dende o punto de vista teórico como práctico, valorando tamén a claridade e o rigor lóxico mostrado na exposición dos mesmos.
A avaliación continua basearase nos resultados obtidos nos controis escritos ou traballos encargados polo profesor sobre aspectos prácticos ou teóricos da materia, que poderán ser individuais ou en grupo.

Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL NA AULA
Horas expositivas (30 horas)
Horas interactivas de seminario (15 horas)
Horas interactivas de laboratorio (12 horas)
Titorías en grupos moi reducidos ou individualizadas (3 horas)
Total horas traballo presencial en aula: 60 horas.

TRABALLO PERSONAL DO ALUMNADO
Estudo autónomo individual ou en grupo (65 horas)
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos (20 horas)
Lecturas recomendadas, actividades en biblioteca ou similares (5 horas)
Total horas traballo persoal do alumno: 90 horas.
Recomendacións para o estudo da materia
Para estudar esta materia é importante dominar os contidos das seguintes: Introducción á análise matemática; Continuidade e derivabilidade de funcións dunha variable real; Integración de funcións dunha variable real; Topoloxía dos espazos euclidianos. Diferenciación de funcións de varias variables reais. Series funcionais e integral de Riemann en varias variables.

Por outra parte, recoméndase estudar con regularidade, levando a materia ó día, e realizar todas as actividades que se propoñan nas aulas. Tamén é moi importante consultar co profesor todas as dúbidas que poidan ir xurdindo ó longo do curso.