G1011327 - Teoría Global de Superficies (Xeometría Diferencial) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 42.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 16.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
Cordero Rego, Luis Angel.	SI
MACIAS VIRGOS, ENRIQUE.	NON

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Horarios	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Estudo dos campos de vectores nun aberto do espazo euclidiano e dos campos de vectores tanxentes e normais a unha superficie. Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector ao longo dunha curva. Xeodésicas. Curvatura xeodésica. Estudo das propiedades e teoremas máis destacados da xeometría diferencial global de superficies, incluíndo orientabilidade, o teorema da rixidez da esfera e o teorema de Gauss-Bonnet.


Contidos
1. Campos de vectores
1.1 Campos de vectores nun aberto do espazo euclidiano.
1.2 Campos de vectores tanxentes a unha superficie regular.

2. Orientabilidade
2.1 Campos de vectores normais a unha superficie. Atlas orientados.
2.2 Caracterización da orientabilidade das superficies regulares mediante campos normais.

3. Superficies compactas en R3. A rixidez da esfera
3.1 Lema de Hilbert.
3.2 Teorema de Liebmann.
3.3 Rixidez da esfera.

4. Transporte paralelo e xeodésicas
4.1 Derivada covariante ao longo dunha curva sobre unha superficie.
4.2 Campos de vectores paralelos. Transporte paralelo dun vector tanxente ao longo dunha
curva.
4.3 Xeodésicas. Curvatura xeodésica.
4.4 Fórmula de Liouville.

5. Teorema de Gauss Bonnet.
5.1 Trianguacións e característica de Euler-Poincaré.
5.2 Fórmula local de Gauss-Bonnet.
5.3 Teorema global de Gauss-Bonnet.
5.4 Aplicacións.

6. A aplicación exponencial
6.1 Aplicación exponencial.
6.2 Coordenadas normais e coordenadas polares xeodésicas. Lema de Gauss.
6.3 Carácter minimizante local das xeodésicas.
6.4 Estrutura métrica dunha superficie regular. Teorema de Hopf-Rinow.


Bibliografía básica e complementaria
DO CARMO, M.P.(*) Differential Geometry of Curves and Surfaces. Prentice Hall. Englewood Cliffs, 1976. (versión castelán, Alianza Editorial, 1990).
FEDENKO, A. Problemas de Geometría Diferencial. Mir. Moscú 1981.
CORDERO, L.A., FERNÁNDEZ, M. e GRAY, A. Curvas y superficies con Mathemetica. Addison- Wesley Iberoamericana 1994.
GÖETZ, A. Differential Geometry, Addison-Wesley, 1970.
KLINGENBERG, W. A Course in Differential Geometry. Springer-Verlag, GTM 51, 1978. (versión en castelán, Edit. Alhambra, 1973).
LEHMAN, D. e SACRÉ, C. Géométrie et Topologie des Surfaces . Presses Universitaires de France, Paris, 1982.
LIPSCHUTZ, L.M. Geometría Diferencial. Mac Graw Hill, Serie Schaum. México 1971.
MONTIEL, S. e ROS, A. Curvas y Superficies . Proyecto Sur de Ediciones, Granada, 1997
O'NEILL, B. Elementary Differential Geometry. Second Edition Academic Press, 1997. (versión castelán, Limusa-Wiley, 1972).

O libro máis utilizado no curso aparece marcado cun (*) na Bibliografía.

Competencias
1.- Orientación de curvas e superficies.
2.- Cálculo do transporte paralelo en curvas sinxelas.
3.- Coñecer as xeodésicas de superficies elementais.
4.- Coñecemento dos principais métodos de obtención da curvatura xeodésica.
5.- Uso do teorema de Gauss-Bonnet para o cálculo dalgunhas integrais sobre rexións dunha
superficie.

Metodoloxía da ensinanza
A distribución semanal da materia será aproximadamente a seguinte: 3 horas de clase de teoría, 1 hora de clase interactiva.
Nas clases interactivas traballarase sobre os exercicios que se lles propuxeron aos alumnos e sobre dúbidas aparecidas nas clases teóricas.

Sistema de evaluación
Haberá un dobre método de avaliación: a avaliación puntual, mediante unha proba final escrita, o exame, fixado no calendario da Facultade; e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, baseada principalmente na participación de cada estudante na aula.
A cualificación da materia será a do exame incrementada, no seu caso, en ata un 30%, baseándose nunha avaliación continuada positiva.

O exame terá unha parte de teoría (ente un 25 e un 40% do total da proba), que pode abarcar definición de conceptos, enunciado de resultados ou proba total ou parcial deles. O resto consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.

Tempo de estudo e traballo persoal
Horas presenciais:
42 horas teóricas
16 horas de problemas
2 horas de titorias

Horas non presenciais:
55 horas relacionadas coa docencia.
30 horas para preparar traballos
20 horas de preparación do exame final

Horas de avaliación:
5 horas exame final

Total volume de traballo: 170 horas

Observacións
Aconséllase ter cursadas previamente as seguintes materias:
- Álxebra Linear e Multilinear
- Topoloxía
- Diferenciación de Funcións de Varias Variables Reais,
- Integración de Funcións de Varias Variables Reais
- Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias
- Curvas e Superficies