G1011331 - Topoloxía de Superficies (Topoloxía) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 4.50
• Total: 4.5
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 30.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 13.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 45.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
Masa Vázquez, Xosé Mª.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_02	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_03	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo CLIL_04	Horarios	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS02	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS03	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS04	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS05	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON
Grupo TI-ECTS06	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
A primeira parte da materia aborda os conceptos de conexidade e compacidade, conceptos xa estudados na materia Topoloxía dos Espazos Euclidianos. Agora fai-se o estudo nun marco máis abstracto, onde non todos os métodos empregados nos espazos euclidianos son válidos, e se introducen conceptos e métodos novos, como o estudo local.

Preténdese afondar no coñecemento destes conceptos, de grande importancia en todas as ramas da matemática. O tema de compacidade en espazos métricos permite conectar coas técnicas usadas nos espazos euclidianos e constitúe unha boa preparación para un futuro estudo máis acaído da compacidade en espazos de funcións e espazos de Hilbert.

Estes primeiros temas servirán tamén para asentar os conceptos e as técnicas introducidas na materia de Topoloxía Xeral e, certamente, son imprescindíbeis para abordar o núcleo da materia, o estudo da topoloxía das superficies.

A segunda parte do programa muda o rexistro de abstracción para realizar un estudo moi xeométrico das superficies compactas. Preséntase cada superficie como cociente dunha rexión poligonal no plano, e desenvólvese un procedemento elemental para recoñecer se os cocientes de dúas rexións distintas dan lugar a superficies homeomorfas. Aprovéitase este estudo xeométrico para introducir dous invariantes das superficies que as determinan completamente: a característica de Euler e a orientabilidade.

En fin, a terceira parte aborda o estudo dunha das construcións máis elegantes e eficaces da matemática do século XX, o grupo fundamental ou grupo de Poincaré dun espazo topolóxico. Mediante ista ferramenta, un problema xeométrico vaise traducir nun problema alxébrico máis simple, cuxa resolución aportará información sobre o problema orixinario. Neste caso, de feito, a solución do problema alxébrico permite concluír a clasificación das superficies compactas.

Contidos
1.-Conexidade (0,25 créditos)

Separación e conexidade
Compoñentes conexas


2.-Conexidade por camiños (0,25 créditos)

Camiño. Camiño inverso. Produto de camiños
Conexidade por camiños
Conexidade local por camiños


3.-Compacidade (0,5 créditos)

Coberturas e subcoberturas
Definición de compacidade
Compacidade dun produto
Compacidade en espazos métricos


4.-Compacidade local (0,25 créditos)

Compacidade local
Compactificación de Aleksandrov


5.- Superficies Compactas (0,5 créditos)

Superficies. Superficies con borde. Suma conexa de superficies
Triangulacións. As superficies como cocientes de rexións planas
Orientabilidade


6.-Clasificación das Superficies Compactas, I (0,25 créditos)

Símbolo da presentación dunha superficie
Reducción do símbolo a unha forma canónica
A característica de Euler dunha superficie


7.-Homotopía (0,5 créditos)

Homotopía de aplicacións.
Retración e deformación
Espazos contráctiles
Equivalencias e Tipo de homotopía


8.-O Grupo Fundamental (0,75 créditos)

Homotopía de camiños. Lazos
O Grupo Fundamental


9.-Cálculo do Grupo Fundamental (0,5 créditos)

Espazos simplemente conexos
O Grupo Fundamental das esferas
O Grupo Fundamental da circunferencia


10.-Clasificación das Superficies Compactas, II (0,75 créditos)

Presentación de grupos por xeneradores e relacións
O Grupo Fundamental das superficies compactas
Teorema de Clasificación das Superficies Compactas
Bibliografía básica e complementaria
As referencias [11] e [12] constitúen a bibliografía básica.

1.- Armstrong, M. A., Topología Básica, Editorial Reverté, Barcelona, 1987.

2.- Buskes, G. and van Rooij, A. Topological Spaces: From Distance to Neighborhood. Springer-Verlag. New york, 1997

3.- Crossley, M. D., Essential Topology. Springer-Verlag, London, 2005.

4.- Gramain, A., Topologie des Surfaces. Presses Universitaires de France, Paris, 1971

5.- Greenberg, M. J. and Harper, J. R., Algebraic Topology: a first course, Benjamin, Massachusetts, 1981.

6.- Hu, S.-T., Elements of General Topology. Holden-Day, Inc, San Francisco, 1964

7.- Katok, A., Climenhaga, V., Lectures on Surfaces: (almost) you wanted to know about them. Student Math. Library, 46, AMS, Providence, R.I., 2008

8.- Kinsey, L. C., Topology of Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993

9.- Lee, J. M., Introduction to topological manifolds Graduate texts in mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000

10.- McCleary, J., A First Course in Topology. Continuity and Dimension. Student Math. Library, 31, AMS, Providence, R. I., 2006.

11.- Masa Vázquez, X.M., Topoloxía xeral. Introducción aos espacios euclidianos, métricos e topolóxicos. Manuais universitarios, 1. Universidade de Santiago de Compostela, 1999.

12.- Massey, W. S., Introducción a la Topología Algebraica, Editorial Reverté, Barcelona, 1972.

13.- Messer, R., Straffin, P., Topology Now! The Mathematical Association of America, Washington, DC, 2006.

14.- Munkres, J. R., Topología, Prentice Hall, Madrid, 2002

15.- Sutherland, W.A., Introduction to metric and topological spaces. Clarendon Press, Oxford, 1998.
Competencias
Ademais das competencias xenéricas contempladas para a materia na Memoria do Grao, indicamos as seguintes de forma máis concreta.

Recoñecer espazos conexos, ou conexos por camiños, e ser capaces de elaborar procedementos de comprobación, xa sexan indirectos, xa sexa construíndo os camiños pertinentes.

Manexar coberturas abertas e subcoberturas, sabendo poñer de manifesto o carácter non compacto dun espazo.

Construír representacións poligonais planas de superficies sinxelas. Recoñecer polas presentacións de que superficie se trata, identificándoa co referente do Teorema de Clasificación.

Utilizar o functor grupo fundamental para abordar problemas xeométricos. Ser capaz de calcular o grupo fundamental de espazos simples; en particular, das superficies.

Coñecer exemplos e contra-exemplos de espazos que ilustren as propiedades estudadas.

Como competencia transversal, adicarase atención ao uso da lingua inglesa, propoñendo lecturas axeitadas e insistindo na presencia do léxico matemático en inglés.
Metodoloxía da ensinanza
Traballo na aula e materiais

Na aula, nas diversas sesións que de seguido se describen, se abordarán os principais contidos da materia, tanto teóricos como prácticos. Preténdese unha exposición selectiva, en función de parámetros como importancia e dificultade. Non exhaustiva. As notas de clase poderán ser unha boa ferramenta de traballo, pero precisarán o complemento doutras fontes, especialmente bibliográficas.

Ao longo do curso estarán dispoñíbeis outros recursos. En particular, existe un curso virtual de apoio, que se describe brevemente na última páxina desta Guía-Programa. Disponse dunha Guía de Estudo, publicada no curso virtual, que ven sendo como os apuntamentos de clase do profesor, que se irán actualizando. Periodicamente entregaranse Boletíns, que conterán exercicios e outras propostas de traballo, que serán o material base a desenvolver nas sesións dos Seminarios.


O Plan de Estudos do Grao estrutura o traballo presencial desta materia en tres tipos de sesións:


Clases do grupo completo (3 créditos). Son as sesións adicadas ao desenvolvemento da materia. Trátase, fundamentalmente, de leccións impartidas polo profesor. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo á exposición ou ilustración de algunha cuestión teórica, e outro tempo á resolución de problemas ou exercicios. As veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, as veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas. Como material de apoio para estas sesións, no curso virtual estará dispoñíbel unha Guía de estudo, que se irá actualizando ao longo do curso.


Seminarios (1,5 créditos). Son clases en grupo reducido. Preténdese unha maior
participación activa das e dos estudantes. Para facilitar a participación, formaranse grupos de traballo. As sesións dos Seminarios terán formatos diversos. Haberá sesións de exercicios, nas que se resolverán os exercicios propostos nos Boletíns; cada exercicio será asignado a un grupo de traballo, para que o prepare e expoña. Noutras sesións abordaranse cuestións preparadas polos estudantes, non explicadas previamente; para a preparación destas sesións contarase cun guión elaborado polo Profesor; cada grupo terá que encargarse dunha sesión deste tipo. En fin, outras veces, as menos, serán talleres de exemplos e aplicacións da teoría estudada, sen un encargo previo a ningún grupo, ou se discutirá un texto, tal vez unha lectura recomendada. Os Boletíns co material de traballo para os Seminarios estarán dispoñíbeis no curso virtual.




Sesións en grupos moi reducidos (0,2 créditos). Son sesións que teñen como obxectivo o seguimento da aprendizaxe; o seu formato axeitarase á marcha do curso no momento da súa realización. Previsiblemente, antes de cada sesión de seminario en que grupos de estudantes teñan que expoñer un tema, haberá unha destas sesións cos membros dos grupos implicados, para discutir o traballo a facer.


Ao longo do curso propoñerase, así mesmo, un traballo escrito, que permita incidir na corrección desa forma de expresión matemática. O formato e momento desta proba intermedia, que poderá realizarse nunha sesión na aula, previamente anunciada, ou cada quen libremente, dependerá, entre outros factores, dos acordos conxuntos do profesorado para a programación do curso. Será concretado cando a presentación da materia, o primeiro día de clase.

Tamén se propoñerán lecturas recomendadas, de interese para se achegar á bibliografía da materia, para coñecer outros enfoques, outros discursos. Eventualmente se poderá demandar a entrega dun comentario sobre as mesmas (a título orientativo, un comentario podería ter entre 150 e 300 palabras), ou podería ser tema de discusión nalgunha sesión na aula.
No curso virtual estará dispoñíbel un Calendario do curso, onde aparecerán as datas de diversas actividades propostas, así como unha previsión da temporización do programa.

Sistema de evaluación
Haberá un dobre sistema de avaliación: a avaliación puntual, realizada mediante o exame final, e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, en base á participación activa na aula e aos traballos realizados.

O exame final consistirá dunha proba escrita. Terá dúas partes. Unha parte de teoría, que consistirá na O exame final consistirá dunha proba escrita. Terá dúas partes. Unha parte terá un carácter máis teórico; nela propoñeranse algunhas cuestións a desenvolver, relacionadas cos contidos estudados. A outra parte do exame consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso.


O exame procura avaliar os coñecementos teóricos adquiridos, a capacidade de resolución de problemas e, moi especialmente, a adquisición das competencias enunciadas nesta programación. Valorarase en particular a claridade conceptual, rigor argumental, precisión, etc.


Para quen non teña participado nas actividades realizadas ao longo do curso, o exame podería ter un complemento oral.

Para a avaliación continuada o profesor irá seguindo, día a día, o proceso de aprendizaxe de cada estudante. A base desta avaliación será a participación na clase, as actuacións no encerado nas sesións de grupos reducidos, os traballos entregados e a discusión dos mesmos, os tests de avaliación (na aula e on-line), etc. A cualificación obtida neste proceso estará a disposición de cada estudante na web do curso antes da realización do exame final, ao remate do periodo de clases.

O criterio que o profesor se forma ao longo do curso, base da avaliación continuada, vese influenciado polo exame final. Desde o punto de vista do profesor, a cualificación final debe ser a resultante deste proceso, sempre procurando a equidade. En calquera caso, a cualificación da materia non será inferior á do exame final nin á suma do 75% da nota do exame final e o 25% da nota da avaliación continua.

Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL

Clases en grupo grande, 30 h.
Clases en grupo reducido, 13 h.
Sesións en grupos moi reducidos, 2 h.

Total taballo presencial, 45 h.

TRABALLO PERSOAL

Estudo autónomo, 45 h.
Escritura de exercicios ou outros traballos, 15 h.
Lecturas recomendadas ou similar, 7,5 h.

Total horas traballo persoal, 67,5 h

Recomendacións para o estudo da materia
Entre os coñecementos que se supoñen están os correspondentes ás materias Topoloxía dos Espazos Euclidianos, Topoloxía Xeral e Estruturas Alxébricas.

A teoría desenvolvida é moi abstracta, non é doado asimilala nunha primeira lectura. A desexable comprensión formal dos conceptos introducidos e das técnicas empregadas nas demostracións dos principais resultados, que non é pouco, non garante unha comprensión suficiente. O mellor camiño é estudar coidadosamente os exemplos sinxelos e abordar algún máis complicado, para comprender a natureza das súas dificultades.

Os exercicios son unha boa ferramenta de aprendizaxe. O interesante deles non é coñecer a resolución; o interesante é esforzarse en chegar a ela cos propios medios, nese esforzo sostido está a base da formación. Só despois de ensaiar varias formas de solución, de reflexionar, abordar, se cadra, casos particulares,... o coñecemento da resolución será instrutiva. Convén ter presente que, nesta materia, non se vai tratar de aprender a resolver un certo número de exercicios tipo. O sentido dos exercicios e dos exemplos é o de acadar unha mellor comprensión da teoría estudada e capacitarse no manexo das ferramentas que utiliza.

En fin, para aprender é necesario preguntar, preguntar todo o que non se entenda, sen a menor reserva. Na aula, ou no despacho do profesor, nas horas reservadas a titorías.

Observacións
Curso virtual


Está dispoñíbel na USC Virtual (http://www.usc.es/campusvirtual/ ) un curso virtual relativo ao programa da materia. Trátase dun curso de apoio á docencia presencial. Contén información sobre a materia, como esta Guía Docente, que se poderá ir ampliando; sobre o desenvolvemento do curso, como o Calendario; material para o traballo ordinario, especialmente a Guía de estudo e os Boletíns, material base para o traballo nas sesións de Seminario; e os Exames das convocatorias anteriores, cos exercicios resoltos. Pódese atopar tamén material de Topoloxía dos Espazos Euclidianos, como referencia. Inclúense, así mesmo, algunhas presentacións, animacións, e enlaces a outras páxinas na rede con contidos relacionados coa materia. Está dispoñíbel, tamén, un léxico inglés-galego coa terminoloxía da materia. Irán incorporándose, no seu momento, outros recursos, como probas de avaliación, exames, cualificacións, etc. O curso virtual será tamén un medio máis de comunicación, no que aparecerán anuncios, ou se activarán foros de preguntas ou discusión.


Como medio adicional de intercomunicación, disponse dunha conta de twitter da materia, que se aconsella seguir: https://twitter.com/@topoloxia