G1011423 - Traballo Fin de Grao (Traballo Fin de Grao) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 12.00
• Total: 12.0
• Horas ECTS
• Clase Interactiva Seminario: 98.00
• Horas de Titorías: 294.00
• Total: 392.0

Outros Datos

• Tipo: Traballo Fin de Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Física da Materia Condensada, Análise Matemática, Matemática Aplicada, Álxebra, Xeometría e Topoloxía, Estatística e Investigación Operativa, Química Inorgánica, Electrónica e Computación, Bioloxía Celular e Ecoloxía, Bioloxía Celular e Ecoloxía, Matemática Aplicada
• Áreas: Física da Materia Condensada, Análise Matemática, Matemática Aplicada, Álxebra, Xeometría e Topoloxía, Estatística e Investigación Operativa, Química Inorgánica, Ciencia da Computación e Intelixencia Artificial, Bioloxía Celular, Ecoloxía, Astronomía e Astrofísica
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: Traballos Fin de Grao e Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
CANDAL SUAREZ, EVA MARIA.	NON
FERNANDEZ DELGADO, MANUEL.	NON
GARCIA TASENDE, Mª SOLEDAD.	NON
LEMA MARQUEZ, MARGARITA.	NON
REYES FERREIRA, OTILIA.	NON
SANCHEZ GONZALEZ, Mª ANGELES.	NON

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	NON	NON
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	NON	NON
Grupo CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	NON	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Contidos
PROPOSTAS DE TRABALLOS FIN DE GRAO
CURSO 2013-2014


Código
Área de coñecemento Álgebra
Título Algunos casos del último teorema de Fermat
Director/a Javier Majadas Soto
Breve descrición do contido Se estudiarán algunos casos particulares del último teorema de Fermat, así como otras ecuaciones diofánticas relacionadas. Se utilizarán solo métodos elementales y conocimientos básicos de la teoría de enteros algebraicos (siendo el libro “P. Samuel, teoría algebraica de números” más que suficiente para estos métodos).
Recomendacións Es muy conveniente haber cursado o estar cursando la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”, y manejar con soltura los contenidos de la asignatura “Ecuaciones Algebraicas”. También será necesario que el alumno sea capaz de utilizar bibliografía matemática en inglés.
Outras observacións Los métodos que se utilizarán son básicos y fundamentales en Teoría de Números, por lo que se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en esta disciplina.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ALGEBRA
Título Resolución de ecuaciones algebraicas en característica positiva.
Director/a Emilio Villanueva Nóvoa
Breve descrición do contido Se estudiará la prueba de Artin sobre la independencia lineal de caracteres, así como la norma y la traza de una extesión finita de cuerpos, para obtener el teorema 90 de Hilbert, lo que permitirá caracterizar completamente las extensiones cíclicas. Ello abre el camino para la obtención del gran teorema de Galois sobre la resolubilidad de ecuaciones algebraicas en característica p.
Recomendacións Haber seguido con aprovechamiento el curso de Ecuaciones Algebraicas.
Outras observacións El tema proporciona una visión más completa del tema de resolubilidad mostrando que la característica no nula exige un tratamiento ligeramente diferente al de característica cero, ya estudiado en la asignatura de Ecuaciones Algebraicas.
Se considera necesario que el alumno sea capaz de utilizar bibliografía matemática en Inglés.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Álgebra
Título La función zeta de Riemann y el teorema del número primo

Director/a Antonio García Rodicio
Breve descrición do contido Estudiar las propiedades básicas de la función zeta de Riemann y sus ceros y aplicarlas para demostrar el teorema del número primo.
Se comenzará completando los resultados generales de análisis complejo adquiridos en la asignatura “Variable compleja”, probando los teoremas de factorización de Weierstrass y Hadamard, para aplicarlos luego al estudio de la función gamma de Euler, incluyendo la fórmula de Stirling, y seguidamente a la función zeta de Riemann. De esta última se obtendrá en primer lugar su prolongación analítica, su ecuación funcional, se calcularán los ceros triviales y se probará que los no triviales están contenidos en la banda crítica. A continuación se demostrará el teorema de De la Vallée-Poussin delimitando una región libre de ceros dentro de la banda crítica, lo que tiene como concecuencia que ninguno de ellos tiene parte real 1. De aquí se deducirá de forma rápida (por el método de Wiener-Ikehara) el teorema del número primo.

Recomendacións Tener un buen dominio de los contenidos de la asignatura “Variable compleja”.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Álxebra
Título A inconmensurabilidade nos Elementos de Euclides e a construción dos 5 sólidos platónicos.
Director/a Celso Rodríguez Fernández
Breve descrición do contido Interpretación da Inconmensurabilidade no Libro X dos Elementos.
Actualización das demostracións de Euclides.
Clasificación dos distintos tipos de rectas (primeira binomial, .... sexta binomial, binomial, primeira bimedial, segunda bimedial, maior, ..., primeira apótoma, ...,apótoma, ..., menor, ...) e relacións entre eles.
As extensións de Q.
Relacións entre o libro X e a construcción dos 5 sólidos platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro, octoedro, dodecaedro e icosaedro.

Recomendacións O alumno deberá facer unha revisión do contido dos 9 primeiros libros dos elementos e dar unha versión actualizada das demostracións do Libro X.
Analizarase a influencia do Libro X na construción dos 5 sólidos platónicos, no Libro XIII.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ÁLXEBRA
Título Grupo de Brauer dun anel conmutativo
Director/a José Manuel Fernández Vilaboa
Breve descrición do contido Trátase de introducir a noción de álxebras de Azumaya como unha xeneralización das álxebras centrais simples sobre un corpo e de definir o grupo de Brauer dun anel conmutativo R: Br(R).
Complementarase co establecemento de un funtor dende a categoría de aneis conmutativos ata categoría de grupos abelianos e con o estudo de varios exemplos e relacións entre grupos de Brauer.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Álgebra
Título Teoremas Fundamentales de la Geometría Afín y Proyectiva.
Director/a María Jesús Vale Gonsalves
Breve descrición do contido Las homografías entre espacios proyectivos transforman tres puntos alineados en tres puntos alineados. Lo mismo ocurre con las afinidades entre espacios afines. En este trabajo se plantea la pregunta: ¿Las biyecciones entre espacios proyectivos (o afines) que conservan la alineación son homografias (afinidades)? La respuesta, en general, es negativa.

Proponemos probar los teoremas fundamentales de la Geometría Proyectiva y Afín, que afirman que dados dos espacios proyectivos (afines) de igual dimensión finita mayor que 2, sobre dos cuerpos K y K’, toda biyección entre ellos que lleve tres puntos alineados en tres puntos alineados, es un isomorfismo semi-lineal proyectivo (isomorfismo semi-afín).

Se deberán introducir previamente nociones tales espacio proyectivo, variedad lineal proyectiva, encaje del espacio afín en el espacio proyectivo, y aplicaciones semilineales

Bibliografía
-E. Artin. Algebra geométrica. Limusa, 1992.
-K. W. Gruenberg, A.J. Weir. Linear Geometry, Springer 1977
-E. Snapper; R. Troyer. Metric Affine Geomery, Academic Press, 1971.
-C. Tisseron. Géométries affine, projective et euclidienne. Hermann, 1988


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento
Álxebra
Título Xeometría tropical
Director/a Manuel Ladra González
Breve descrición do contido Na álxebra tropical, a suma de dous números é o seu mínimo e o produto de dous números é o seu produto.

Variedades alxébricas pódense definir no ámbito tropical; elas son agora subconxuntos de Rn compostos de poliedros convexos. Polo tanto, xeometría alxébrica tropical é unha versión lineal a anacos da xeometría alxébrica.
Outras observacións Bibliografía:

D. Maclagan, B. Sturmfels, Introduction to Tropical Geometry, http://homepages.warwick.ac.uk/staff/D.Maclagan/.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Álxebra
Título Introdución de coordenadas nun plano afín
Director/a Manuel Ladra González
Breve descrición do contido Axiomas do plano afín. Dilatacións e translacións. Construción do corpo. Teorema de Desargues. Teorema de Pappus.
Outras observacións Bibliografía:
E. Artin, Geometric Algebra, Interscience Publishers, Inc., New York, 1957.
R. Hartshorne, Foundations of Projective Geometry, W. A. Benjamin, Inc., New York 1967.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Alxebra
Título Os teoremas de incompletitude de Gödel
Director/a Javier Barja Pérez
Breve descrición do contido En un artículo publicado por Kurt Gödel en 1931, con el título "Sobre sentencias formalmente indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines I" , se encuentra lo que se conoce como el Teorema de incompletud de Gödel. D
Contidos
ice,textualmente,
" Teorema VI: Para cada clase recursiva primitiva y - consistente K de fórmulas, hay un signo de clase r, tal que ni v Gen r ni Neg(v Gen r) pertenecen a Flg(K) (donde v es la variable libre de r)
Se trata de estudiar este primer teorema de incompletitud de Gödel relativo a la incompletitud de la aritmética y el segundo teorema de incompletitud relativo a la imposibilidad de probar la consistencia misma de un sistema formal que incluya los exiomas de la aritmética elemental.

De una indiscutible importancia no sólo como teoremas (meta) matemáticos, sino en la lógica (en la teoría de sistemas formales) y en la filosofía, así como las consecuencias que de él se han derivado no sólo la respuesta negativa a la pretension de David Hilbert de confiar en “ un número finito de procesos puramente lógicos”para evitar problemas, sino en las consecuencias positivas como es la propuesta de funcion recursiva como modelo de funcion efectivamente calculable.
Recomendacións Davis, M. The undecidable. Basic papers on undecidable propositions, unsolvable problems and computable functions (1965), Raven Press, Hewlett, N.Y.
Enderton, H.B. A mathematical introduction to logic (1972), Academic Press.
Gödel K. Uber formal unentscheidbase Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Monatshefte für Mathematik und Physik, vol 38 (1931), 173-198
Gödel K. Obras Completas. Introducción y notas J.Mosterin (1981), Alianza Editorial, Alianza Universidad, n° 286, 430
Kleene, S. C.Introduction to metamathematics (1971)Wolters-Noordhoff,
Mendelson, E. Introduction to Mathematical Logic 4Ed (1997), Chapman Hall.
Yasuhara, N. Recursive function theory and logic (1971), Academic Press


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ÁLXEBRA
Título Introducción a las curvas algebraicas planas: Cónicas y cúbicas.
Director/a Ana Jeremías López
Breve descrición do contido Los objetos más simples a la Geometría Algebraica son las curvas algebraicas planas afines y proyectivas. Utilizando el diccionario geometría-álgebra estudiaremos las propiedades locales y globales básicas de las curvas algebraicas: multiplicidad de una curva en un punto, puntos singulares y regulares, intersección de curvas planas, las curvas polares y hessianas de una curva algebraica. La motivación central del trabajo es el estudio y clasificación de las curvas determinadas por ecuaciones polinómicas de grado menor o igual que 3.
Recomendacións Se recomienda haber cursado las asignaturas “Ecuaciones Algebraicas”, “Estructuras Algébraicas”, y estar cursando paralelamente la asignatura “Álgebra, Números y Geometría”.
Outras observacións BIBLIOGRAFÍA:
- Bix, R.; Conics and Cubics. A concrete introduction to algebraic curves. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York, 1998.
- Kunz, E.; Introduction to plane algebraic curves. Translated from the 1991 German edition by Richard G. Belshoff. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2005.
- Fulton, W.; Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry. Mathematics Lecture Notes Series. W. A. Benjamin, Inc., New York-Amsterdam, 1969. Última versión 2008: http://www.math.lsa.umich.edu/~wfulton/CurveBook.pdf
- Lord, E.; Symmetry and Pattern in Projective Geometry, Springer-Verlag London 2013.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ALGEBRA
Título Extensiones separables de cuerpos
Director/a Emilio Villanueva Nóvoa
Breve descrición do contido Apoyándose en la noción de extensión separable algebraica y de la de base de trascendencia de una extensión de cuerpos, se planteará el concepto de extensión separable y, utilizando extensiones linealmente disjuntas se trataría de obtener el criterio de Mac Lane y el teorema de Schmidt. La aplicación a cuerpos perfectos cerrará el tema.
Recomendacións Una buena formación en Algebra es muy recomenmdable. En concreto es imprescindible cierta soltura en la utilización de los conceptos correspondientes a la asignatura de Estructuras Algebraicas
Outras observacións El tema es de gran importancia para quienes deseen iniciar su formación en Geometría Algebraica o en Teoría de Números, por ello se recomienda que quien pretenda realizar el trabajo tenga su interés centrado en alguno de esos temas.
Se considera necesario que el alumno sea capaz de utilizar bibliografía matemática en Inglés.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Álxebra
Título Curvas elípticas sobre corpos finitos e as súas aplicacións en criptografía.
Director/a José Luis Gómez Pardo
Breve descrición do contido As curvas elípticas sobre corpos finitos proporcionan unha familia de grupos abelianos finitos nos que se pensa que o problema do logaritmo discreto (PLD) é especialmente difícil debido a que só se coñecen algoritmos xenéricos (de complexidade exponencial) para resolvelo, o que fai que teñan un grande interese criptográfico.
O traballo comezará polo estudo xeneral de curvas elípticas e a súa estrutura de grupo, pasando despois a centrarse no caso de curvas elípticas sobre corpos finitos, no PLD sobre as mesmas, e nos algoritmos dispoñibles para resolvelo. Como aplicación estudaranse o esquema de cifrado de Elgamal e o esquema de sinaturas dixitais ECDSA, baseados en curvas elípticas.
Recomendacións É recomendable ter cursadas ou estar cursando as materias “Códigos Correctores e Criptografía” e “Álxebra, Números e Xeometría” e ser capaz de ler bibliografía en inglés.
Outras observacións Bibliografía:
D. Hankerson, A. Menezes, and S. Vanstone, Guide to Elliptic Curve Cryptography. Springer, 2004.
J. Hoffstein, J. Pipher, J.H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography. Springer, 2008.

Standards for Efficient Cryptography 1 (SEC 1): Elliptic Curve Cryptography, version 2.0, en http://www.secg.org/download/aid-780/sec1-v2.pdf.

L.C.Washington, Elliptic Curves, 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, 2008.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título Teoría de Floquet. Aplicación ao estudo da dinámica en torno a órbitas periódicas.
Director/a Fernando Costal Pereira
Breve descrición do contido Se nos fixamos no que sucede ao noso arredor, con frecuencia observamos que hai multitude de comportamentos de tipo periódico. Parece interesante coñecer que sucedería, si algo que “se move” seguindo unha órbita periódica “sáese” da órbita, noutras palabras, se hai ou non estabilidade. Moitos dos comportamentos sinalados, poden ser modelados por un sistema non lineal de ecuacións diferenciais, pero a dificultade, cando non a imposibilidade, de resolver este tipo de sistemas, fai necesario recorrer a modelos mais fáciles de tratar desde o punto de vista matemático. Neste sentido, é interesante obter información do que sucede nunha contorna da órbita periódica a partir do sistema linealizado en torno á mesma. A teoría de Floquet, xunto coa dinámica dun difeomorfismo en torno a un punto fixo, poden proporcionar a información desexada.
Recomendacións É imprescindible coñecer e manexar con soltura, os diferentes temas estudados nas materias de ecuacións diferenciais ordinarias do grado en matemáticas.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análisis Matemático
Título Ideales de operadores quasi normados
Director/a Manuel Antonio Fugarolas Villamarin
Breve descrición do contido Se trata de estudiar algunos ideales de operadores: Operadores nucleares, Operadores integrales Operadores Sumantes y operadores asociados a S-números.
Recomendacións Conocimientos previos de Análisis Funcional
Outras observacións Ninguna


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título Aspectos topolóxicos da dinámica discreta
Director/a Miguel Antoni
Contidos
o del Río Vázquez

Breve descrición do contido Consideraranse algúns conceptos topolóxicos básicos do estudo abstracto da dinámica discreta, incidindo especialmente naqueles que tratan de expresar ou medir a complexidade dinámica dun sistema, como son a transitividade, a entropía topolóxica e as distintas nocións de caos.


Título Elaboración de recursos co ordenador para a comprensión de conceptos e resultados relativos á Análise Matemática
Directora Rosa Mª Trinchet Soria
Breve descrición do contido O obxectivo principal do traballo (cunha importante compoñente didáctica) é a elaboración de procedementos informáticos orixinais que ilustren algúns dos conceptos e/ou principais resultados da Análise Real e/ou Complexa (especialmente, os referidos a Funcións, Diferenciación, Integración e algunhas das nocións de Converxencia de Sucesións funcionais, etc.). Naturalmente, as tarefas de programación conlevarán unha análise previa das principais propiedades e resultados que se intenten ilustrar cos programas realizados.

Cando proceda, intentaranse tamén compaxinar as competencias propias do desenvolvemento dos contidos do traballo con algunhas outras competencias da Memoria de Grao (principalmente, a que fai referencia ó coñecemento da evolución histórica dos conceptos).
Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA


Título Os espazos Lp(X, M, μ)
Director/es Rosa Mª Trinchet Soria
Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA
Breve descrición do contido Segundo algúns autores, a superioridade da integral de Lebesgue fronte á integral de Riemann foi indiscutible a partir dos resultados de F. Riesz (1880 -1956) e Fischer (1875-1954) que, de formas lixeiramente distintas, no ano 1907 caracterizan os coeficientes de Fourier das funcións de “cuadrado sumable” no intervalo [0, 2 ], proporcionando un camiño de ida e volta entre os espazos 2 e L2. Eses resultados foron posibles grazas a unha propiedade que, na actualidade, formulamos do seguinte xeito: L2 é completo. Posteriormente, Riesz obtería unha versión máis xeral desta propiedade, facéndoa extensiva a outros espazos.

O obxectivo deste traballo é iniciar o estudo dos espazos, Lp(X, M, μ), onde
1 ≤ p ≤∞ e (X, M, μ) é un espazo de medida abstracto, previa introdución dos conceptos e resultados que proporcionen os coñecementos necesarios para levar a cabo este estudo (noción de espazo de medida; integración en espazos de medida abstractos, …)



Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA
Título Teoría do Grao. Aplicacións ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias.
Director/a Alberto Cabada Fernández
Breve descrición do contido Neste traballo estudarase, nun primeiro momento, a teoría do grao topolóxico xunto coa teoría do índice. A partir dese momento obteránse resultados que garantizan a existenza de solución de ecuacións funcionais en espazos abstractos.
Nun segundo momento, abordarase o estudo de ecuacións diferenciais con distintas condicións de contorno. Veremos como pasar as ecuacións consideradas a ecuacións funcionais equivalentes. A existenza de solución da ecuación diferencial dedúcese da existenza de solución da ecuación funcional equivalente por medio da teoría do grao.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA
Título A Ecuación de Hill
Director/a Alberto Cabada Fernández
Breve descrición do contido Neste traballo estudaranse as propiedades básicas da ecuación de Hill, tanto no caso homoxéneo como no non homoxéneo. É importante salientar que toda ecuación diferencial de orden dous pode ser reducida, por medio dun adecuado cambio de variable, a esta.

No que se refire ó problema homoxéneo, tratarase o problema espectral, xunto coa oscilación das solucións e a súa estabilidade. Tamén se abordarán os problemas de comparación e separación para diferentes potenciais q.

O problema non homoxéneo será tratado con condicións de contorno periódicas. Obténdose a relación que existe entre a oscilación das solucións do problema homoxéneo e as solucións periódicas de signo constante n dos problemas entre a oscilación.



Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título Algunhas aplicacións da Análise de Fourier
Director/a Rosana Rodríguez López
Breve descrición do contido O traballo consiste no estudo de aplicacións das Series de Fourier e a Transformada de Fourier a algúns problemas procedentes dos ámbitos da Física ou a Enxeñería, afondando nas propiedades matemáticas e resultados fundamentais que fan da Análise de Fourier unha ferramenta esencial na resolución destes problemas. O emprego de programas de cálculo simbólico permitirá visualizar e interpretar algunhas destas propiedades.
Recomendacións Ter superadas as materias
Series Funcionales e Integración de Riemann en Varias Variables Reales
Introdución ás Ecuacións Diferenciais Ordinarias
Ecuacións Diferenciais Ordinarias
Series de Fourier e Introdución ás Ecuacións en Derivadas Parciais
Ter coñecementos de programas de cálculo simbólico


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título Problemas de contorno e ecuacións integrais
Director/a Juan Manuel Cainzos Prieto
Breve descrición do contido O obxectivo do traballo é o estudo das solucións de EDO cando en vez de coñecer a posición e velocidade inicial coñecesen os valores nos extremos dun intervalo [a,b]. Concretamente, preténdese relacionar estas solucións coas dunha ecuación integral asociada e establecer a existencia e unicidade de solución.

Recomendacións É desexable o coñecemento da materia Análise Funcional en Espazos de Hilbert.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ANÁLISE MATEMÁTICA
Título A INTEGRAL DE HENSTOCK-KURZWEIL
Director/a RODRIGO LÓPEZ POUSO
Breve descrición do contido Trátase de estudar os fundamentos da “recente” integral de Henstock-Kurzweil, que nalgúns aspectos xeneraliza á de Lebesgue e que, ademais, permite recuperar calquera función derivable mediante integración da súa función derivada.
Para funcións de variable real, a definición de integrabilidade no sentido de Henstock-Kurzweil é similar á de Riemann, polo que resulta particularmente sinxela. No traballo farase fincapé na comparación da nova integral coas coñecidas estudadas no Grao en Matemáticas.
Actualmente, a integral de Henstock-Kurzweil estase a empregar cada vez máis asiduamente no ámbito da investigación en ecuacións diferenciais, seguindo en gran medida o traballo pioneiro de Schwabik. No traballo estudaranse tamén algunhas aplicacións da integral de Henstock-Kurzweil ás ecuacións diferenciais.



Título O erro de Peano
Director/es Rodrigo López Pouso
Breve descrición do contido No artigo “Is there an elementary proof of Peano's Existence Theorem for first order differential equations?”, publicado no American Mathematical Monthly en 1969, o profesor H.C. Kennedy (Providence College, EE. UU.) advertía da presenza de erros na demostración orixinal de Peano do seu clásico teorema de existencia de solucións para ecuacións diferenciais ordinarias, e preguntaba se existían demostracións correctas seguindo a liña da orixinal. As reaccións ás afirmacións de Kennedy non se fixeron esperar, e nos anos 1971 e 1973, W. Walter (Universidade de Karslruhe, Alemania) e J. Walter (Universidade de Aachen, Alemania), publicaron no mesmo xornal sendos artigos que respostaban afirmativamente á pregunta do título do artigo de Kennedy e, desafortunadamente sen xustificación, sostían que a demostración orixinal de Peano era correcta, polo menos no esencial.

A idea de que a demostración orixinal de Peano é incorrecta semella bastante estendida n
Contidos
a actualidade. Sen ir máis lonxe, podemos citar o ben coñecido libro de texto de F. Simmons, onde se fai unha alusión similar á de Kennedy; véxase tamén o artigo sobre o teorema de Peano en wikipedia.

O obxectivo principal deste traballo de fin de grao é o de “poñer aspas vermellas” nos puntos erróneos da demostración de Peano do ano 1886, se é que os hai, e elaborar unha versión correcta e actualizada da mesma. Ademais, analizarase a importancia das ideas orixinais de Peano noutros ámbitos máis modernos e sofisticados das ecuacións diferenciais (método de Perron para ecuacións en derivadas parciais elípticas, solucións de viscosidade para ecuacións de Hamilton-Jacobi, ...). Tamén se fará unha aproximación biográfica á figura de Giuseppe Peano, unha das máis xeniais da matemática e da lóxica de tódolos tempos.
Área de coñecemento Análise Matemática



Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título A función zeta de Riemann
Director/a Juan José Nieto Roig
Breve descrición do contido Concepto da función zeta de Riemann. Teorema de Euler. Enunciado da Hipótese de Riemann e a súa relación con distintos campos da matemática e algunhas das súas implicacións.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Análise Matemática
Título El sistema trigonométrico
Director/a Juan José Nieto Roig
Breve descrición do contido El sistema trigonométrico juega un papel fundamental en muchos campos de las matemáticas. Se estuduaran algunas de sus propiedades.
Por otra parte, es bien conocido que los polinomios de coeficientes reales son densos en el conjunto de las funciones continuas sobre un intervalo compacto (resultado de K. Weierstrass del año 1885). Una generalización de este resultado se debe a M.H. Stone en el año1937. Dicha generalización es de una gran elegancia y sencillez y se conoce como el Teorema de Stone–Weierstrass. Se estudiarán sus principales implicaciones y consecuencias, entre las que cabe destacar la completitud del sistema trigonométrico.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Título Una introducción a la programación no lineal
Director/a Julio González Díaz
Breve descrición do contido En una primera parte de este trabajo el alumno deberá familiarizarse con los elementos básicos de la programación no lineal.

En una segunda parte el trabajo se centrará en las condiciones de optimalidad clásicas, con especial atención a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker.

Además, se contemplará la posibilidad de adquirir unas primeras nociones de dualidad en optimización no lineal y sus ventajas.
Recomendacións Especialmente indicado para alumnos que estén buscando un trabajo con carga teórica pero que no pierda de vista las potenciales aplicaciones.
Outras observacións Aunque la programación no lineal se usa en la práctica para resolver multitud de problemas de optimización, este trabajo será fundamentalmente teórico, dedicado a entender los pilares que sustentan el posterior diseño de algoritmos.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Título Resolución de problemas de programación lineal mediante el algoritmo de punto interior de Karmarkar
Director/a Julio González Díaz
Breve descrición do contido En este trabajo el alumno deberá familiarizarse con los aspectos teóricos y computacionales del algoritmo de Karmarkar.

El algoritmo de punto interior de Karmarkar es el algoritmo polinomial más utilizado a la hora de resolver problemas de programación lineal con un gran número de variables y restricciones.

A diferencia del método Simplex, para este algoritmo está garantizado que el tiempo de ejecución del mismo crece polinomialmente como función del tamaño del problema en estudio.
Recomendacións Especialmente indicado para alumnos que estén buscando un trabajo con carga teórica pero que al mismo tiempo disfruten con la programación, ya sea en Fortran, R, Matlab...

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa
Título Funcións Generatrices e Aplicacións ao Cálculo en Teoría de Xogos
Directora Balbina Virginia Casas Méndez
Breve descrición do contido Unha función xeradora ou función generatriz é unha serie formal de potencias cuxos coeficientes codifican información sobre unha sucesión an cuxo índice percorre os enteiros non negativos. Esta técnica da análise combinatorio vén mostrando a súa utilidade para o cálculo de solucións na teoría de xogos cooperativos desde que David G. Cantor en 1962 a utilizou para obter o denominado valor de Shapley.
Neste traballo preténdese revisar a literatura máis relevante nesta liña de traballo, desde a contribución de David G. Cantor ata a actualidade. Isto inclúe a presentación de diferentes algoritmos, o estudo da súa complexidade e algunhas das súas aplicacións ás ciencias sociais.

As habilidades informáticas (programación en R ou outra linguaxe) poden enriquecer de xeito significativo o traballo. Por outra banda, existe a posibilidade de iniciarse á investigación comezando o estudo e proposta de posibles solucións a problemas abertos neste campo.

Referencias:

Ríbnikov, K. (1988). Análisis Combinatorio. Editorial Mir.

Bilbao, J. M., Fernández, J. R., Jiménez Losada, A., and López, J.J. (2000). Generating functions for computing power indices efficiently. TOP 8, 191-213.
Recomendacións Cursar a materia Teoría de Xogos pode ser conveniente, ata aínda que se faga de forma máis ou menos simultánea á realización do Traballo Fin de Grado.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Título Modelización de Series de Tiempo Financieras
Director/a Manuel Febrero Bande
Breve descrición do contido Una serie de tiempo es una secuencia ordenada de valores respecto a un índice (tiempo). Ejemplos de series de tiempo en el mundo financiero pueden ser la prima de riesgo medida cada día o el precio de un stock en el mercado de valores. El objetivo de la modelización de series de tiempo es doble: describir la estructura dinámica de los valores observados y predecir valores futuros de acuerdo a esa dinámica. En este trabajo se pretende describir y plantear las herramientas básicas para la modelización con series de tiempo y aplicar estas herramientas al análisis de alguna serie financiera relevante.
Recomendacións Modelos de Regresión
Outras observacións Comprensión lectora en inglés

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa
Título Inferencia estatística con datos circulares
Director/a Alberto Rodríguez Casal
Breve descrición do contido Cando medimos a dirección do vento estamos rexistrando un dato circular. Esta dirección pode representarse como un punto na circunferencia. Outros exemplos poden ser a dirección do polo magnético, a hora en que empeoran os síntomas dunha determinada enfermidade ou a dirección en que rompen os implantes de cadeira. Dada a súa natureza circular, estes datos non teñen escala é son periódicos, polo que as técnicas clásicas utilizadas para modelar e analizar a súa distribución deben ser convenientemente adaptadas.

O obxectivo deste traballo e revisar as técnicas estatísticas existentes para analizar datos circulares. Preténdese facer unha breve introdución sobre as técnicas de tipo descritivo (tanto numéricas como gráficas), para posteriormente estudar os principais modelos paramétricos de datos circulares. Finalmente, abordarase o problema da estimación nonparamétrica da densidade con datos circulares.

Bibliografía
Jammalamadaka, S. R. y SenGupta, A. (2001). Topics in Circular Statistics. World Scientific, Singapore.
Re
Contidos
comendacións O estudante deberá ter coñecementos de inferencia estatística, análise matemática. Deberá programar código en R así como ser capaz de ler textos en inglés.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa
Título O problema do viaxante
Director/a Alberto Rodríguez Casal
Breve descrición do contido O problema do viaxante (ou the traveling salesman problem, TSP), consiste en encontrar a ruta óptima para un vendendor que debe visitar, comezando nunha orixe, unha soa vez un número prefixado de cidades para logo regresar á orixe. Por suposto, a ruta óptima é a ruta que teña a menor lonxitude.

O TSP é un dos problemas mellor estudados dentro da optimización. Aínda que existen algoritmos que permiten calcular a solución exacta, a súa complexidade computacional fan aconsellable utilizar aproximacións heurísticas. Neste traballo preténdese revisar a literatura máis relevante para a resolución (tanto exacta como aproximada) do TSP e aplicar as técnicas a o estudo dun problema real de cálculo de rutas.

Bibliografía:

Applegate, D. L.; Bixby, R. E.; Chvátal, V.; Cook, W. J. (2006), The Traveling Salesman Problem: A Computational Study, Princeton University Press,
Recomendacións O estudante deberá ter coñecementos de programación lineal e enteira. Deberá de ser capaz de programar código propio así como de ler textos en inglés.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estatística e Investigación Operativa
Título Estimación de conxuntos: algoritmos para o cálculo do “medial axis”.
Director/a Beatriz Pateiro López
Breve descrición do contido A estimación de conxuntos ten por obxectivo recuperar un conxunto descoñecido ou algunha característica importante do mesmo a partir dunha mostra de puntos do conxunto. A estimación de conxuntos está tendo na actualidade importantes aplicacións en campos como a análise de imaxes. O “medial axis” dun obxecto se define como o conxunto de puntos que teñen mais dun punto mais próximo na fronteira do conxunto e ven a ser coma o esqueleto do obxecto. Existen na literatura algoritmos para a computación do medial axis en conxuntos sinxelos como polígonos. O obxectivo deste traballo é facer unha revisión da literatura existente e implementar estes métodos na linguaxe R, o software mais empregado na actualidade na comunidade científica na área estatística.
Recomendacións Coñecementos de programación


Código A cumprimentar pola CDAA
Título Inferencia sobre proporciones
Director/es César A. Sánchez Sellero
Breve descrición do contido En la asignatura “Probabilidad y Estadística” se plantea y resuelve el problema de inferencia sobre la proporción, para obtener intervalos de confianza y para la realización de contrastes de hipótesis, haciendo uso de la aproximación normal y estimando el error típico de manera directa. Sin embargo, este procedimiento presenta inconvenientes graves, como errores de cobertura de los intervalos de confianza o incluso intervalos no contenidos en el intervalo [0,1] en el cual debe hallarse cualquier proporción. En aquella asignatura se planteó el problema y se ofreció bibliografía sobre procedimientos alternativos, así como la solución proporcionada por el lenguaje R.
En este trabajo se propone revisar varias alternativas para la construcción de intervalos de confianza y la ejecución de contrastes de hipótesis sobre una proporción, comparando las propiedades de cada una de ellas.

Bibliografía:
Wilson, E.B. (1927) Probable inference, the law of succession, and statistical inference. J. Am. Stat. Assoc., 22, 209–212.
Newcombe R.G. (1998) Two-Sided Confidence Intervals for the Single Proportion: Comparison of Seven Methods. Statistics in Medicine 17, 857–872.
Newcombe R.G. (1998) Interval Estimation for the Difference Between Independent Proportions: Comparison of Eleven Methods. Statistics in Medicine 17, 873–890.
Área de Coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Recomendacións Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística.
Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es conveniente tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada


Código A cumprimentar pola CDAA
Título Verosimilitud empírica
Director/es César A. Sánchez Sellero
Breve descrición do contido La verosimilitud empírica es un método que permite realizar tareas de inferencia, adaptándose de manera muy flexible a la distribución del estimador o del estadístico de contraste. Además, permite la aplicación de una distribución asintótica ji-cuadrado muy sencilla, lo cual facilita las labores de inferencia.
En este trabajo se propone revisar los elementos básicos del método de verosimilitud empírica, lo cual implica la utilización de multiplicadores de Lagrange. Se incluirá en el trabajo la inferencia por verosimilitud empírica con parámetros vectoriales.
Se ilustrarán los métodos con ejemplos simulados, donde se podrían ver las ventajas de la verosimilitud empírica en distribuciones asimétricas.

Bibliografía:
Owen, A.B. (2001). Empirical likelihood. Chapman and Hall.
Área de Coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Recomendacións Haber superado las materias Elementos de Probabilidad y Estadística, Programación Lineal y Entera, Probabilidad y Estadística e Inferencia Estadística.

Tener capacidad de leer bibliografía en inglés. Es preciso tener capacidad para la programación. R podría ser una herramienta adecuada

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Estadística e Investigación Operativa
Título Modelos de regresión con efectos aleatorios
Director/a Wenceslao González Manteiga
Breve descrición do contido Se trata de revisar y describir los modelos de regresión con efectos aleatorios con respuesta cualitativa y continua que surgieron en los últimos años. Elaborar una posible lista de macros en R relacionadas con las distintas metodologías e ilustrar la potencialidad de los métodos en modelos de predicción de datos medioambientales y biomédicos que le serán suministrados al alumno.
Recomendacións Haber cursado las asignaturas de Inferencia Estadística del Grado y aconsejable cursar la optativa de regresión y multivariante de cuarto curso.
Outras observacións Se aconseja tener conocimientos de R.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ESTATÍSTICA E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Título MODELOS AUTORREGRESIVOS DE SERIES DE TEMPO
Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS
Breve descrición do contido Os modelos autorregresivos permiten modelar o comportamento dunha serie de observacións recollidas ao longo do tempo e que presentan unha dependencia feble entre elas. Neste traballo centrarémonos no estudo da modelización de tipo Box-Jenkins para series autorregresivas.

O traballo comprende as seguintes tarefas:
a) Introdución ás series de tempo. Estacionariedade.
b) Modelos autorregresivos (AR). Función de autocorrelación.
c) Estimación dos modelos AR.
d) Diagnose e predición en modelos AR.
e) Aplicación a datos reais.

Referencias:
Brockwell, P.J. e Davis, R.A. (2002). Introduction to Time Series and Forecasting. Springer (2ª edición).
Peña, D. (2005). Análisis de Series Temporales. Alianza Editorial.

Recomendacións Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso).

Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento ESTATÍSTICA
Contidos
E INVESTIGACIÓN OPERATIVA
Título RANOVA: UNHA INTRODUCIÓN AOS MODELOS MULTINIVEL
Director/a ROSA M. CRUJEIRAS CASAIS
Breve descrición do contido As estruturas xerárquicas de datos son frecuentes nas ciencias sociais, a medicina ou a bioloxía. Como exemplos, podemos considerar o estudo de individuos clasificados en unidades agrupadas, como rexións xeográficas ou administativas. Nesta situación, cabe esperar que dous individuos elixidos ao chou no mesmo grupo tendan a ser máis similares que aqueles de grupos diferentes. Neste contexto, resulta de interese analizar as relacións a dous niveis: entre os grupos e dentro dos mesmos.

A análise inferencial deste tipo de poboacións con estruturas complexas é o obxectivo dos modelos multinivel, entre os cales se atopa o modelo de análise da varianza con efectos aleatorios (RANOVA, do inglés “Random effects ANalysis Of VAriance”), que será obxecto de estudo neste traballo.

O traballo comprende as seguintes tarefas:
a) Introdución aos modelos multinivel.
b) Modelos RANOVA. Descomposición da variabilidade.
c) Estimación do modelo RANOVA.
d) Predición dos efectos aleatorios.
e) Aplicación a datos reais.

Referencias:
Goldstein, H. (2011). Multilevel Statistical Models. Wiley Series in Probability and Statistics.
Faraway, J.J. (2006). Extending the Linear Model with R: Generalized Linear, Mixed Effects and Nonparametric Regression Models. Chapman and Hall
Snijders, T.A.B. and Bosker, R.J. (2000) Multilevel Analysis: An Introduction to Basic and Advanced Multilevel Modeling. Sage.
Recomendacións Ter superadas as materias do Módulo de Probabilidade, Estatística e Investigación Operativa. É recomendable que a/o alumna/o curse a materia Modelos de Regresión e Análise Multivariante (4º curso).

Tamén é aconsellable que a/o alumna/o posúa coñecementos xerais do loxical R, así coma unha capacidade suficiente para ler e entender bibliografía en inglés.


Título PROGRAMACIÓN DO PROBLEMA DE DOUS CORPOS
Director/es José Angel Docobo Durántez
Breve descrición do contido O Problema de dous corpos é a base da Mecánica Celeste e, en particular, do cálculo de órbitas keplerianas. Proponse facer un estudo global deste problema, programando distintos algoritmos como a Ecuación de Kepler e as leis horarias para os movementos parabólico e hiperbólico, así como diversos casos prácticos.
Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica
Recomendacións Ter cursado Fundamentos de Astronomía

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Astronomía e Astrofísica
Título Novos sistemas de referencia astronómicos
Director/a Josefina F. Ling
Breve descrición do contido A mellora instrumental e metodolóxica (Distancias Láser, Interferometría de larga base, GPS) deixa obsoleto o modelo de Terra ríxida e fai necesario redefinir os sistema de referencia astronómicos. En base as resolucións da XXIV Asemblea Xeral da Unión Astronómica Internacional (Manchester 2001) o alumnado fará un estudo pormenorizado dos cambios propostos considerando modelos de Terra elástica ou deformable que supón ter en conta a variación no tempo da distribución de masas. Calcularanse as transformacións entre certos sistemas mediante o uso de programas informáticos e se percorreran algunhas das aplicacións e consecuencias que estes sistemas teñen tanto na Astronomía como noutras ciencias.
Recomendacións Haber cursado a materia de Fundamentos de Astronomía

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Astronomía y Astrofísica
Título Propiedades orbitales y astrofísicas de estrella eruptiva UV Ceti
Director V. Tamazian
Breve descrición do contido Se propone que el/la alumno/a prepare inicialmente los archivos de datos dinámicos y astrofísicos de UV Ceti utilizando distintas herramientas de investigación (software dedicado y programación básica) y aprendiendo a manejar grandes bases de datos y catálogos estelares. Se hará un análisis estadístico de los parámetros orbitales y fotométricos del sistema binario UV Ceti. En base de abundante material fotométrico en fases de flare
(erupciones), el/la alumno/a estudiará la relación entre actividad de UV Ceti y la posición de sus componentes en la órbita. Se pretende aclarar en qué medida la actividad estelar está relacionada con los parámetros dinámicos del sistema.
Recomendacións Haber cursado Fundamentos de Astronomía

Título Implementación de elementos finitos de Hermite para problemas de contorno elípticos bidimensionais.
Director/es Juan M. Viaño Rey
Breve descrición do contido Trátase de implementar os elementos finitos de tipo Hermite triangulares e validar os programas con diversos exemplos de problemas de contorno en térmica e elasticidade.
Incluirá:
• Busca de bibliografía e referencias para a descrición dos elementos finitos e as súas propiedades
• Descrición e análise do erro nos problemas discretizados
• Programación en ordenador para problemas bidimensionais con distintas condiciones de contorno.
• Comparación dos resultados cos obtidos en paquetes de elementos finitos (pdetool, COMSOL) ou con elementos finitos de tipo Lagrange.
• Escritura e presentación da memoria de resultados e conclusións.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Recomendacións Ter cursado
G1011445 Taller de Simulación Numérica
G1011448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Título Modelización e simulación numérica das deformacións termomecánicas de estruturas sinxelas usadas na Enxeñería Civil durante un incendio.
Director/es Patricia Barral Rodiño
Breve descrición do contido Trátase de realizar:
1) A modelización matemática das deformacións termomecánicas sufridas por estruturas sinxelas de aceiro e/ou formigón usadas na Enxeñería Civil durante un incendio.
2) A simulación numérica utilizando COMSOL.

Área de coñecemento Matemática Aplicada
Recomendacións Cursar ou ter cursado: Taller de Simulación Numérica, Modelización Matemática e Análise Numérica de EDP.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Modelado e simulación numérica en ecuacións en derivadas parciais.
Director/a Peregrina Quintela Estévez
Breve descrición do contido Trátase de realizar a modelización matemática de un proceso real na mecánica de sólidos a partir da bibliografía existente. Ademais farase a simulación numérica dalgún sub-proceso involucrado, ben utilizando software comercial ou desenrolando un código propio.
Recomendacións Haber cursado as materia de Modelización Matemática e Taller de Simulación Numérica.

Título Elaboración de un programa de análisis de las propiedades de los métodos de integración para E.D.O.
Director/es María Luisa Seoane Martínez
Breve descrición do contido Se trata de implementar en MATLAB un programa que, dados los coeficientes del método, analice las propiedades de consistencia, orden, estabilidad y convergencia y construya las funciones asociadas al estudio de la estabilidad numérica.
En particular, deberá ser capaz de analizar familias paramétricas de métodos lineales multipaso o de tipo Runge-Kutta.
Además, deberá construir los coeficientes de métodos significativos (Runge-Kutta de Gauss-Legendre, Adams-Bashforth, Adams-Moulton, BDF).
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Recomendacións Haber superado todas las materias obligatorias de métodos numéricos y ecuaciones diferenciales ordinarias del grado u otras con contenidos equivalentes.
Poseer conocimientos de MATLAB.


Código
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Resolución numérica del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden con métodos de gradiente conjugado.
Director/a María Luisa Seoane Martinez
Breve descrición do contido El objeti
Contidos
vo de este trabajo es la programación en ordenador de la aproximación numérica de la solución del problema de Dirichlet para el operador lineal de cuarto orden bidimensional mediante la resolución de una formulación mixta que permite expresarlo en términos de las derivadas de segundo orden; este procedimiento presenta además la ventaja de preservar la simetría del problema original. Los sistemas finitodimensionales de matriz definida positiva resultantes de la discretización con elementos finitos afines de Lagrange se resolverán mediante el método del gradiente conjugado, que al trarse de problemas lineales convergerá en un número finito de iteraciones.
Recomendacións Haber superado las materias Análise Numérica Matricial y
Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais y estar matriculado en Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Código
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Estudio del movimiento de un fluido en torno a un obstáculo
Director/a María Luisa Seoane Martínez
Breve descrición do contido El objetivo de este trabajo es la descripción del movimiento de un fluido
que rodea un obstáculo. Este tipo de situaciones aparecen en un gran número de aplicaciones de la física e ingeniería: en el diseño de aviones, de cascos, velas y hélices de barcos, de aerogeneradores de energía eléctrica...
Se trata de realizar una recopilación bibliográfica de los distintos modelos de mecánica de fluidos y abordar la resolución de algunos de ellos, ya sea mediante procedimientos analíticos, por ejemplo con técnicas de variable compleja, como numéricos, utilizando un software de simulación.

Recomendacións Haber superado o estar matriculado en Modelización Matemática, Variable Compleja y Análisis Numérico de EDP.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Generación de mallados en 2D: Triangulación de Delaunay combinada con una optimización de los nodos.
Director/a Jerónimo Rodríguez García
Breve descrición do contido De cara a la resolución numérica de ecuaciones en derivadas parciales mediante el método de los elementos finitos es fundamental el poder obtener una triangulación de buena calidad del dominio de cálculo.

En el presente trabajo, el alumno estudiará un método de generación de mallados para dominios en dos dimensiones. El método se basará en dos ingredientes fundamentales: i) la triangulación de Delaunay asociada a una nube de puntos contenida dentro del dominio que queremos mallar, ii) un algoritmo de optimización de la posición de los nodos del mallado [1].

En primer lugar el estudiante tendrá que documentarse sobre las propiedades de la triangulación de Delaunay así como seleccionar y programar un algoritmo que proporcione dicha triangulación para una nube de puntos dada. Durante la segunda parte del proyecto se estudiará e implementará la técnica de optimización de nodos presentada en [1].

[1] P.-O. Persson and G. Strang, A simple mesh generator in matlab, SIAM Review, 46 (2004), pp. 329–345

Recomendacións Se recomienda tener conocimentos básicos de Fortran90.
Outras observacións Los algoritmos seleccionados se implementarán en Fortran90.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Simulación numérica de modelos simplificados do fluxo sanguíneo
Director/a M. Elena Vázquez Cendón
Breve descrición do contido O obxectivo deste traballo é estudar modelos simplificados do fluxo sanguíneo. Estos modelos son ecuacións en derivadas parciais hiperbólicas e presentan distintos tipos de solucións, tanto continuas como febles. A análise e coñecemento das mesmas permitirá a validación dos resultados numéricos, que serán obtidos modificando códigos en FORTRAN ou Matlab, facilitados pola directora. Os métodos numéricos analizaranse en termos dos conceptos de estabilidade, consistencia e converxencia.

Referencias:
E. F. Toro and A. Siviglia, “Simplified blood flow model with discontinuous vessel properties: analysis and exact solutions” Ambrosi, D.; Quarteroni, A.; Rozza, G. (Eds.) Modeling of Physiological Flows. Springer, 2012.

M.E. Vázquez-Cendón, “Introducción al método de volúmenes finitos”. Servizo de Publicacións e intercambio científico da USC, 2008.
Recomendacións O/a estudiante debe poder ler bibliografía escrita en inglés.
Ter cursado:
G1011421 Modelización Matemática
G1011448 Análise Numérica de Ecuacións en Derivadas Parciais

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título Aproximación dos autovalores dunha matriz polo algoritmo QR

Director/a Mato Eiroa, Pilar

Breve descrición do contido
O algoritmo QR, que data de principios dos anos 60, é un dos métodos máis empregados para o cálculo do conxunto dos autovalores dunha matriz cadrada calquera. Na práctica, antes de aplica-lo método QR, a matriz A transfórmase nunha matriz Hessemberg superior o que reduce considerablemente o seu coste computacional. O uso do método QR con traslacións permite mellora-la converxencia do método. Neste traballo trátase de elaborar un manual que responda ós seguintes ítems:
• Exposición e análise do método e de diversas estratexias que se poden utilizar para melloralo.
• Implementación dalgunha delas en FORTRAN 90 ou MATLAB.
• Aplicación do método nalgún exemplo.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada
Título
Director/a Rafael Muñoz Sola
Breve descrición do contido Los conceptos de consistencia, estabilidad y convergencia son centrales en el estudio de los métodos númericos para EDO. El objetivo del trabajo es la redacción de un documento que exponga los resultados fundamentales relativos a estos conceptos incluyendo sus demostraciones así como sus aplicaciones al estudio de las familias principales de métodos (Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector). El trabajo debe incluir como mínimo:
a) La caracterización de la consistencia de un método “general” (una familia típica de métodos que engloba Runge-Kutta, lineales multipaso y predictor-corrector de tipo P(EC)μ E. )
b) El resultado de que estabilidad y consistencia implican convergencia.
c) La descripción de la estructura de las soluciones de la ecuaciones en diferencias lineales de k pasos ( item auxiliar necesario para abordar el punto siguiente)
d) La caracterización de la estabilidad (teorema de Dahlquist).
e) La equivalencia entre convergencia y estabilidad más consistencia en el
caso de los métodos lineales mutipaso.
f) La necesidad de la consistencia para tener la convergencia, en el caso de los métodos de un paso.
g) Resultados aplicables a los métodos predictor-corrector de tipo P(EC)μ.
(Estos métodos no encajan en el método “general” citado más arriba.)


Bibliografía:

- CROUZEIX, MICHEL; MIGNOT, ALAIN L. (1989, segunda edición) Analyse Numérique des Équations Differentielles. Masson, Paris. [Primera edición: 1984]

- CHARTRES, B. y STEPLEMAN, R., A General Theory of Convergence for Numerical Methods, SIAM Journal on Numerical Analysis, Vol. 9, No. 3, 1972, pp. 476-492.

- C. W. GEAR (1971) Numerical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice- Hall, Englewood Cliffs, N.J.
- HAIRER, ERNST; NØRSETT, SYVERT PAUL; WANNER, GERHARD (1987) Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer, Berlin

HENRICI, PETER (1962) Discrete Variable Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, New York.
- LAMBERT, JOHN DENHOLM (1973) Computational Methods in Ordinary Differential Equations. Wiley, London.
- ORTEGA, JAMES M. (1972, primera edición ) Numerical analysis: a second course.

- SKEEL, R. Analysis of fixed step-size metho
Contidos
ds, SIAM J. Numer. Anal, Vol. 13, No. 5, 1976, pp. 664-685.
- STOER, JOSEF; BULIRSCH, ROLAND (1993, segunda edición) Introduction to Numerical Analysis. Springer, New York.

Recomendacións Haber superado la asignatura “Métodos Numéricos en Optimización e Ecuacións Diferenciais”. Tener bien asimilados los conceptos de teoría de matrices (normas, diagonalización, forma canónica de Jordan) y los conocimientos de Cálculo Diferencial en una y varias variables.
Outras observacións El/la estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada.
Título Fórmulas de cuadratura avanzadas.
Director/a Óscar López Pouso.
Breve descrición do contido Contenidos:
Concepto de fórmula de cuadratura y de orden de una fórmula de cuadratura. Fórmulas simples de Newton-Cotes y de Gauss. Fórmulas compuestas. Superexactitud de la fórmula del trapecio compuesta. Cuadratura adaptativa de Simpson y de Gauss-Kronrod. Comandos de cuadratura en MATLAB®.

Además, se cubrirá al menos un 50% del contenido descrito en los puntos que siguen:
Integrales singulares. Integrales múltiples. Método de Monte Carlo. Concepto de fórmula de cuadratura sobre la esfera; fórmulas de cuadratura de Lebedev.
Recomendacións El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.
Outras observacións El TFG está pensado para complementar la formación que el estudiante adquiere en nuestro grado. Engarza conceptos básicos que el alumno ya conoce con el estudio de fórmulas más complejas.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada.
Título "A Hundred-dollar, Hundred-digit Challenge", by Nick Trefethen.
Director/a Óscar López Pouso.
Breve descrición do contido En su curso Problem Solving Squad, el profesor Trefethen (Mathematical Institute, Universidad de Oxford) propone cada semana a los estudiantes la resolución de un problema cuya solución final es un número real. En el número de enero/febrero de 2002 de SIAM News (Vol. 35, nº 1), Trefethen publicó una lista de diez de esos problemas, anunciando que premiaría con $100 a quien los resolviese con el mayor número de decimales exactos.

La mayor parte de estos problemas, que se proponen a los aspirantes a realizar una tesis doctoral, son demasiado difíciles para un alumno de cuarto curso del Grado en Matemáticas. Sin embargo, un cierto número de las soluciones obtenidas por individuos y grupos participantes pueden ser encontradas en la red.

Este TFG se propone con el objetivo de que el estudiante efectúe una búsqueda de esas soluciones, las clasifique y las estudie, aportando siempre que pueda su punto de vista personal.

Bibliografía:
[1] http://www.siam.org/pdf/news/388.pdf.
[2] http://www.siam.org/pdf/news/455.pdf.
[3] Lloyd Nick TREFETHEN, Ten digit problems, 2011. Disponible en http://people.maths.ox.ac.uk/trefethen/invitation.pdf.

Recomendacións El estudiante debe ser capaz de leer bibliografía escrita en inglés.
Outras observacións El mundo del Análisis Numérico va, naturalmente, mucho más allá de los cursos que tienen cabida en un grado. Mediante el estudio de estos problemas, el estudiante entrará en contacto con técnicas nuevas que completarán su formación y ayudarán a ampliar su visión de las Matemáticas.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Matemática Aplicada.
Título Problemas geométricos simples relacionados con integración numérica.
Director/a Óscar López Pouso.
Breve descrición do contido Se nos ha presentado, en el curso de investigaciones recientes, la necesidad de calcular un gran número de integrales sobre la esfera de funciones con altos gradientes en un soporte pequeño, que no es siempre el mismo. La buena determinación de ese soporte es vital, ya que está directamente relacionada con un menor tiempo de cálculo. En este TFG se propone resolver las siguientes cuestiones, que guardan relación con el problema anterior:

(1) Dada la superficie sobre la esfera unidad determinada por un ángulo sólido, obtener el menor rectángulo sobre la esfera (concepto que habrá que definir) que la contiene.
(2) Proyección central de un rectángulo sobre la esfera unidad. Dados una esfera de radio 1 y un rectángulo situado en un plano horizontal por encima de la esfera, determinar en el plano (φ,θ) la porción de superficie esférica delimitada por los cortes con la semiesfera inferior de los cuatro planos que pasan por los lados del rectángulo y el centro de la esfera.
(3) Aplicar integración numérica para funciones reales con soporte pequeño definidas sobre la esfera, comenzando con una fórmula de trapecios compuesta en 2D y siguiendo con métodos de cuadratura adaptativa y con fórmulas específicas para integrar sobre esferas.

Aquí “rectángulo” puede querer decir la unión de un número finito de rectángulos.
El estudiante debe dar solución a esos problemas y desarrollar códigos en MATLAB® que representen gráficamente las soluciones en los casos (1) y (2) y que calculen las integrales en el caso (3).

Outras observacións Los problemas que se proponen son simples y pueden ser resueltos por un estudiante de cuarto curso del Grado en Matemáticas dentro de un TFG de 12 créditos. El estudiante adquirirá soltura en el manejo de coordenadas esféricas y ganará en visión geométrica tridimensional, a la vez que adquirirá competencias en algunos aspectos de optimización y de integración numérica.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Estudio do fibrado tanxente dunha variedade diferenciable
Director/a Luis Hervella Torrón
Breve descrición do contido Neste traballo construirase o espazo tanxente a unha variedade diferenciable e probarase que ten estrutura de espazo fibrado sendo, ademais, o asociado dun fibrado principal localmente trivial, i.e. o fibrado das referencias. Preténdese sobre todo introducir ao alumno neste lenguaxe procurando que chegue a comprender a importancia que teñen estos espazos no estudo da xeometrría diferencial

Recomendacións Ter cursado o cursar o curso de variedades diferenciables

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍa
Título O TEOREMA FUNDAMENTAL DA ÁLXEBRA PARA POLINOMIOS CUATERNIÓNICOS
Director/a ENRIQUE MACÍAS VIRGÓS
Breve descrición do contido En xeral non é certo que todo polinomio cuaterniónico teña algunha raíz. Un resultado de Eilenberg-Niven garantiza que o “teorema fundamental da álxebra” se cumple para polinomios que teñan un único termo de grao máximo. A demostración utiliza a noción de “grao topolóxico” para aplicacións continuas dunha esfera en sí mesma.
Recomendacións Aconsellase ter cursado “Topoloxía alxébrica” xa que se usan nocións de homotopía e homoloxía.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento XEOMETRIA E TOPOLOXIA
Título Un estudo das superficies con curvatura de Gauss constante
Director/a Luis Angel Cordero Rego
Breve descrición do contido O traballo consistirá nuha aproximación ao estudo das superficies con
curvatura de Gauss constante, e mais en particular das superficies de revolución
con curvatura de Gauss constante. Para elo o alumno guiarase polo contido do capítulo 19 do libro de L.A.Cordero, M. Fernández e A. Gray. “Geometría Diferencial de Curvas y Superficies con Mathematica”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995. Polo tanto, a memoria do traballo deberá incluir alomenos unha breve descripción das integrales elípticas de segunda especie e das suas propiedades mais relevantes, asi como representacións gráficas dalguns exemplos de ditas superficies.
Recomendacións O alumno deberá estar familiarizado cos (e recordar os) elementos xerais da teoría básica de curvas e superficies
Contidos
, e da teoría global de superficies.
Outras observacións O coñecemento e o manexo do programa informático Mathematica será un elemento esencial para o desenrolo do traballo.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Modelos métricos de superficies compactas
Director/a Xosé M. Masa Vázquez
Breve descrición do contido O plano proxectivo é un cociente métrico da esfera. O toro e a garrafa de Klein son cocientes métricos do plano euclidiano. Non ocorre o mesmo para as restantes superficies compactas, de xénero maior.
O traballo consiste en presentar estas superficies como cocientes do plano hiperbólico pola acción de subgrupos do seu grupo de isometrías.
Recomendacións Para iniciar o traballo convén ter superada a materia de Topoloxía de Superficies.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Campos de vectores en variedades
Director/a José Antonio Oubiña Galiñanes
Breve descrición do contido Un campo de vectores (diferenciable) sobre un abierto en Rn es simplemente una aplicación diferenciable del abierto a Rn y se visualiza haciendo corresponder a cada punto del abierto un vector en ese punto. El propósito de este trabajo es extender esta noción a las variedades diferenciables, y estudiar sus características esenciales, como por ejemplo su relación con los llamados grupos uniparamétricos de transformaciones.
También se pretende estudiar la derivada de Lie de campos vectoriales, y describir como permite asociar a cada grupo de Lie un objeto natural que es su álgebra de Lie.

Recomendacións Cursar la materia “Variedades Diferenciables”

Título Superficies minimales
Director/es Eduardo García Río
Breve descrición do contido Variación normal dunha superficie regular. Funcional área e puntos críticos: superficies minimais.

Exemplos de superficies minimais: superficie de Enneper, superficie de Scherk, superficie de Henneberg, superficie de Catalan. A aplicación de Gauss dunha superficie minimal.

Coordenadas isotermais. Superficies minimais e análise complexo. A representación de Weierstrass

Unha boa referencia bibliográfica para a realización do traballo é a segunda edición do libro de A. Gray “Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica”.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Recomendacións A realización do traballo require dunha boa comprensión das asignaturas “Curvas e Superficies” e “Teoría Global de Superficies”, correspondentes ao segundo e terceiro curso, respectivamente. Asemade, ter cursado a asignatura “Variedades diferenciables” e coñecementos básicos de teoría de funcións holomorfas permitirá ao estudante un mellor aproveitamento da realización do traballo.
Outras observacións Será de utilidade que o estudante dispoña de coñecementos previos de programación e/ou do uso de software tipo “Mathematica” ou “Mapple”.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA
Título GRUPOS FUCHSIANOS
Director/a Fernando Alcalde Cuesta
Breve descrición do contido Resumo: No traballo próponse o estudo do plano hiperbólico e dos grupos fuchsianos. Na primeira parte do traballo, estudaranse o plano hiperbólico e os seus grupos discretos de isometrías, as propiedades das accións naturais e a existencia de dominios fundamentais para abordar despois a análise dos puntos límite. O traballo completarase co estudo da propiedade de finitude xeométrica, a descripción dos grupos de Schottky e a demostración do Teorema de Poincaré sobre existencia de grupos fuchsianos de signatura dada.

Bibliografía básica:
F. Dal’Bo, Geodesic and Horocyclic Trajectories. Springer, 2010.
A. Katok, V. Climenhaga, Lectures on Surfaces: (almost) everything you wanted to know about them. American Mathematical Society, 2008.
S. Katok, Fuchsian group. The University of Chicago Press, 1992.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Clasificación de superficies non compactas
Director/a Jesús A. Álvarez López
Breve descrición do contido Trátase de extender a clasificación de superficies do caso compacto ao caso non compacto. Ademais do xénero, que pode ser infinito, o novo invariante clave a estudar é o espazo de finais, xunto cos seus subespazos de finais con xénero non nulo (floridos) e orientables.

Primeiro trataríase de describir estos invariantes e probar que son completos. Ademais probaríase que calquer espazo compacto Hausdorff totalmente disconexo, con un par de subespazos pechados, se poden realizar como espacio de finais dalgunha superficie, e os seus subespazos de finais floridos e orientables.

Para facer este traballo, seguirase a línea indicada na Sección 13 do Capítulo I do libro “Algebraic Topology: An Introduction”, por W.S. Massey, que contén as definicións e enunciados principais. Para os detalles das demostracións, usaranse os artigos que se dan como referencias nese libro.

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Modelaxe de complexos simpliciais
Director/a Xosé Manuel Carballés Vázquez
Breve descrición do contido Estudo dalgunhas relacións entre invariantes combinatorios e invariantes alxebraicos, topolóxicos ou xeométricos, mediante a construción de modelos axeitados para complexos simpliciais.
Recomendacións Ter superadas "Estruturas alxébricas", Topoloxía xeral" e Topoloxía de superficies", e cursar "Variedades diferenciables", "Topoloxía alxébrica" e "Álxebra, números e xeometría".

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Grupos discretos de isometrías
Director/a Juan Francisco Torres Lopera
Breve descrición do contido Los grupos discretos de isometrías euclidianas (entre los que se cuentan los grupos de Coxeter) sintetizan la simetría y estructura de los poliedros, de los frisos, de los mosaicos, de las redes cristalinas y de los sistemas de raices de las álgebras de Lie semisimples. Sus propiedades son más sencillas cuando poseen un punto fijo. En caso contrario, su estudio es laborioso. Se trata de desarrollar algunos métodos e ideas simples, necesarios para clasificarlos, y de mostrar (en algunos casos) como se manifiestan las propiedades del grupo en las simetrías del objeto.


Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Teorema de Frobenius de integrabilidad completa
Director/a Juan Francisco Torres Lopera
Breve descrición do contido El teorema de Frobenius es una generalización importante del teorema de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias (autónomas). Dada una distribución E de k-planos tangentes sobre una variedad diferenciable M de dimensión n mayor o igual que k, proporciona una condición necesaria y suficiente para que por cada punto p de M exista una subvariedad N inmersa en M, de dimensión k, que contenga a p y cuyo espacio tangente en p sea precisamente el k-plano de E sobre p. Dicha condición puede expresarse de diferentes modos, que resultan adecuados en las aplicaciones del teorema, una de las cuales es la correspondencia biyectiva entre las subalgebras del àlgebra de lie L(G) de un grupo de Lie G y subgrupos de Lie conexos de G (no necesariamente regulares).
Recomendacións Cursar o haber aprobado la materia sobre variedades del Grado

Código A cumprimentar pola CDAA.
Área de coñecemento Xeometría e Topoloxía
Título Subvariedades
Director/a Agustín Bonome Dopico
Breve descrición do contido Tras analizar os conceptos de inmersión e mergullo entre variedades diferenciables, estudaranse os distintos tipos de subvariedades mostrando exemplos e as relacións entre elas.
Estudaranse, ademais, xeneralizacións de
Contidos
conceptos definidos na materia de “curvas e superficies” ao caso de hipersuperficies.
Recomendacións Ter cursado a materia “Variedades diferenciables”