G1011447 - Álxebra, Números e Xeometría (Materias Optativas) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 40.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 18.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Álxebra
• Áreas: Álxebra
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
GOMEZ PARDO, JOSE LUIS.	NON
LADRA GONZALEZ, MANUEL EULOGIO.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Introducir algunhas das aplicacións mais importantes da álxebra á teoría de números e á xeometría.

Coñecer a teoría de residuos cuadráticos e a Lei de Reciprocidade Cuadrática, así como a importancia da mesma como fonte de ideas para a teoría de números.

Comprender o significado do teorema fundamental da aritmética no contexto de aneis de enteiros alxébricos.

Coñecer o teorema dos ceros de Hilbert e a relación entre ideais e variedades contida no "diccionario álxebra-xeometría".

Coñece-los aspectos fundamentais da teoría de curvas alxebraicas planas incluindo unha introducción á teoría da intersección.
Contidos
1. Residuos cuadráticos. A lei de reciprocidade cuadrática. Cálculo do símbolo de Legendre e de Jacobi. Aplicacións.

2. Representacións de enteiros por formas cuadráticas binarias. Sumas de cuadrados. Teoremas de Lagrange, Euler e Legendre.

3. Corpos de números Alxebraicos. O discriminante. Enteiros alxebraicos e bases de integridade. Corpos cuadráticos e corpos ciclotómicos.

4. A factorización en aneis de enteiros alxebraicos. O teorema fundamental da aritmética para ideais.

5. Conxuntos alxebraicos. O teorema da base de Hilbert. Bases de Gröbner. Ideais radicais. O teorema dos ceros de Hilbert e o diccionario álxebra-xeometría. A topoloxía de Zariski.

6. Curvas alxebraicas proxectivas. Aplicacións racionais. Puntos lisos e puntos singulares.

7. Curvas planas. Multiplicidades e números de intersección. Teorema de Bezout.

Bibliografía básica e complementaria
Bibliografía básica:

W. Fulton, Curvas Algebraicas, Editorial Reverté, 1971.

I. Stewart, D. Tall, Algebraic Number Theory and Fermat's Last Theorem, 3rd Ed., A.K. Peters, 2002.



Bibliografía complementaria

D. Cox, J. Little, D. O'Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer, 1992.

J.S. Chahal, Topics in Number Theory, Plenum, 1988.

G. Everest, T. Ward, An Introduction to Number Theory, Springer, 2005.

W. Kunz, Introduction to Plane Algebraic Curves, Birkhäuser, 2005.

Competencias
Contribuir a acadar as competencias xerais, específicas e transversais recollidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC e, en especial, as seguintes:

Comunicación escrita e oral de coñecementos, métodos e ideas xerais relacionadas coa teoría de números e a xeometría.

Utilizar ferramentas de procura de recursos bibliográficos sobre os temas da materia, incluíndo o acceso por Internet. Manexar ditos recursos en diferentes idiomas, especialmente en inglés.

Saber expoñer hipóteses e extraer conclusións usando argumentos ben razoados, sendo quen de identificar fallos lóxicos e falacias nas argumentacións.


Competencias específicas:

Familiarizarse cos símbolos de Legendre e Jacobi e a súa computación eficiente, así como algunhas das súas principais aplicacións.

Coñecer algúns dos mais importantes resultados clásicos sobre representación de enteiros por formas cuadráticas e, en particular, como sumas de cadrados.

Coñecer a teoría básica de factorización de enteiros alxébricos e estudar o problema da non-unicidade da factorización.

Estudar o problema da factorización no contexto mais amplo da teoría de ideais e comprender o teorema de factorización única neste contexto.

Manexar con soltura o diccionario álxebra-xeometría. Describir operacións básicas en xeometría e describir os seus semellantes en álxebra. Realizar operacións que usan métodos de álxebra computacional, e dar exemplos explícitos, calculados cun sistema de álxebra computacional.

Coñecer os aspectos máis importantes da teoría de curvas alxébricas planas e comprender o teorema de Bezout.

Metodoloxía da ensinanza
Seguiranse as indicacións metodolóxicas xerais que figuran na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC. A docencia impartirase en clases de encerado, clases con ordenador e titorías con e sen ordenador, ademais de titorías en grupos moi reducidos.

Nas clases, presentaránse os contidos esenciais da materia, resolveranse problemas e proporanse as actividades que os estudantes deberán realizar para a evaluación continua (resolución de problemas, elaboración de traballos, ...). Nas clases e titorías con ordenador utilizarase fundamentalmente Maple como ferramenta de traballo.
Sistema de evaluación
Seguirase o criterio xeral de avaliación establecido na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC.

Para o cómputo da cualificación final (F) terase en conta a avaliación continua (C) e a cualificación do exame final (E) e aplicarase a seguinte fórmula:

F = max(E, 0,4*C+0.6*E).

Para a avaliación continua terase en conta a participación nas clases e titorías e as tarefas desenvolvidas ao longo do curso.
Tempo de estudo e traballo persoal
Seguindo as directrices establecidas na Memoria do Título de Grao en Matemáticas da USC, o tempo que o estudante deberá dedicar á preparación da materia consiste en:

- 60 horas de traballo presencial.

- 90 horas de traballo persoal que comprenden as seguintes actividades:

- 50 horas de estudo autónomo.
- Elaboración de traballos e resolución de problemas: 25 horas.
- Lecturas recomendadas e búsqueda de documentación: 5 horas.
- Preparación de presentacións orais: 10 horas.
Recomendacións para o estudo da materia
E aconsellable o coñecemento previo das estruturas alxebraicas básicas, incluíndo as extensións de corpos.

Recoméndase a asistencia e participación activa nas clases e titorías programadas complementada co traballo diario para asimilar os conceptos da materia e realizar as actividades (problemas, traballos) que se irán propoñendo periódicamente.