G1011452 - Topoloxía Alxébrica (Materias Optativas) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 6.00
• Total: 6.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 45.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 13.00
• Horas de Titorías: 2.00
• Total: 60.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Grao RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: null

Profesores

Nome	Coordinador
ALVAREZ LOPEZ, JESUS ANTONIO.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo CLE01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
A materia pretende ser unha introdución á Topoloxía Alxébrica, que permita presentar algúns dos seus métodos e ferramentas e aplicalos á resolución de problemas, especialmente xeométricos, pero tamén algún alxébrico.

Tras unha formación en Topoloxía Xeral, Xeometría Diferencial e Álxebra, esta materia proponse o estudo dos métodos da topoloxía alxébrica, que utilizan técnicas de todas esas materias e permiten resolver de forma elegante e eficaz problemas difíciles, pero de formulación sinxela, como a invariancia topolóxica da dimensión, o carácter libre de todo subgrupo dun grupo libre, teoremas de punto fixo, orientabilidade, propiedades xeométricas das esferas, etc

A interrelación entre teorías diversas facilita a consolidación dos coñecementos adquiridos e o proceso de maduración matemática, favorecendo a súa comprensión unitaria e preparando ao estudante para posteriores desenvolvementos.

Nunha primeira parte (Tema 1), faise un repaso dalgunhos conceptos básicos desta materia que xa foron estudados na materia Topoloxía de Superficies de terceiro curso do Grao. O núcleo da materia, o que corresponde á descrición feita na memoria do Grao, está composto polas outras dúas partes: unha adicada ao estudo dos Espazos de Revestimento (Temas 2 e 3), e outra centrada no desenvolvemento da Homoloxía Singular e as súas aplicacións xeométricas (Temas 4 e 5).


As proxeczóns de revestimento son proxeczóns cociente do espazo de revestimento sobre o espazo base. Baixo hipóteses de regularidade non moi restritivas, trátase do cociente pola acción dun grupo de transformacións que garda unha estreita relación cun subgrupo do grupo fundamental da base. De feito, esta relación permite clasificar ditos espazos. Un dos obxectivos do curso será demostrar este Teorema de Clasificación. E, máis xeneralmente, explorar esta interrelación, que permite tanto obter resultados xeométricos a partir do coñecemento do Grupo Fundamental, como realizar cálculos do Grupo Fundamental a partir da xeometría dos espazos de revestimento.


A Homoloxía asocia unha sucesión de grupos abelianos a cada espazo topolóxico, grupos que son invariantes topolóxicos do espazo. Estes grupos son calculables en moitos casos, as veces mesmo mediante un algoritmo computacional, e permiten deducir moitos teoremas xeométricos. A homoloxía deu mesmo lugar ao nacemento dunha nova rama da matemática, a Álxebra Homolóxica, a mediados do pasado século.

A opción escollida, o estudo da Homoloxía Singular, non é a máis elemental e intuitiva, por iso se comeza cunha referencia á Homoloxía Simplicial. Pero é, en moitos sentidos, a máis económica e elegante. Trátase, no curso, de construír a teoría, demostrar as súas propiedades características, sen pretender a máxima xeneralidade, facer algúns cálculos e poñer de manifesto a súa potencia para resolver problemas xeométricos.

Contidos
1. Repaso de homotopía (1 crédito)
Funcións homótopas
Retracción e Deformación
Tipo de homotopía
Espazos contráctiles
Homotopía de camiños
Grupo fundamental
Espazos simplemente conexos
Grupo fundamental da Circunferencia
Grupos fundamentais de superficies

2. Proxeczóns de revestimento (1 crédito)
Espazos de revestimento
Propiedades de Levantamento

3. Revestimentos e Grupo Fundamental (1,25 créditos)
Accións propiamente discontinuas
Automorfismos de revestimento
Revestimento universal
Clasificación dos espazos de revestimento

4. Homoloxía Singular (1 crédito)
Introducción. Homoloxía simplicial.
O complexo de cadeas singulares. Homoloxía singular.
O axioma da dimensión. Homoloxía reducida.
Invariancia homotópica.

5. Complexos de Cadeas (1,25 créditos)
A categoría de complexos de cadeas.
Sucesións exactas de homoloxía.
Escisión e sucesión de Mayer-Vietoris
Homoloxía con coeficientes
Homoloxía de complexos celulares
Algunhas aplicacións da homoloxía
Bibliografía básica e complementaria
Armstrong, M. A., Topología básica, Editorial Reverté, Barcelona, 1986.

Bredon, G. E., Topology and Geometry, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

Godbillon, C., Éléments de Topologie Algébrique, Hermann, Paris, 1971.

Greenberg, M. J. and Harper, J. R., Algebraic Topology: a first course, Benjamin, Massachusetts, 1981.

Hatcher, A., Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002.

Kinsey, L. C., Topology of Surfaces. Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1993

Lee, J.M., Introduction to Topological Manifolds, Springer-Verlag, Berlin, 2000

Lima, E. L., Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento, IMPA, Rio de Janeiro, 1977.

Massey, W. S., Introducción a la Topología Algebraica, Editorial Reverté, Barcelona, 1972.

May, J.P., A Concise course in algebraic topology, University of Chicago Press, Chicago, 1999

Munkres, J. R., Topología, Prentice Hall, Madrid, 2002

Spanier, E., Algebraic Topology, Springer-Verlag, Berlin, 1995.

Wallace, A., Algebraic Topology, Pergamon Press, London, 1963

Competencias
Ademais das competencias xenéricas contempladas para a materia na Memoria do Grao, indicamos as seguintes de forma máis concreta.


Utilizar o functor grupo fundamental para abordar problemas xeométricos. Ser capaz de calcular o grupo fundamental de espazos simples; en particular, das superficies.

Coñecer revestimentos de espazos comúns; en particular, os seus revestimentos universais. Calcular os seus grupos de automorfismos. Manexar cocientes de espazos pola acción de grupos finitos.

Calcular a homoloxía de espazos simples, especialmente, de complexos esféricos. Resolver problemas xeométricos sinxelos usando a homoloxía.

Coñecer exemplos e contra-exemplos de espazos que ilustren as propiedades estudadas.

Como competencia transversal, adicarase atención ao uso da lingua inglesa, propoñendo lecturas axeitadas e insistindo na presencia do léxico matemático en inglés.
Metodoloxía da ensinanza
O programa é, sen dúbida, amplo. Non se pretende un desenvolvemento exhaustivo do mesmo, modulando a intensidade e extensión en función da marcha do curso. Farase especial fincapé no tratamento de exemplos e aplicacións xeométricas.


Traballo na aula e materiais

Na aula, nas diversas sesións que de seguido se describen, se abordarán os principais contidos da materia, tanto teóricos como prácticos. Preténdese unha exposición selectiva, en función de parámetros como importancia e dificultade. Non exhaustiva. As notas de clase poderán ser unha boa ferramenta de traballo, pero precisarán o complemento doutras fontes, especialmente bibliográficas.

Periodicamente entregarase diverso material de traballo, particularmente, Boletíns de estudo. Os Boletíns conterán exercicios sobre cada tema, pero non só. Son propostas de traballo ordinario, que poderán incluír outro tipo de material, próximo ao formato de Guía de estudo. Será, de ordinario, a base do traballo a desenvolver nas sesións dos Seminarios.

O Plan de Estudos do Grao estrutura o traballo presencial desta materia en tres tipos de sesións:


Clases do grupo completo (3 créditos). Son as sesións adicadas ao desenvolvemento teórico da materia. Trátase, fundamentalmente, de leccións impartidas polo profesor. De ordinario, nunha mesma sesión adicarase un tempo á exposición ou ilustración de algunha cuestión teórica, e outro tempo á resolución de problemas ou exercicios. As veces, o modelo achegarase ao da lección maxistral, as veces procurarase a implicación de todo o alumnado na discusión das cuestións suscitadas.


Seminarios (1,5 créditos). Son clases en grupo reducido. Preténdese unha maior
participación activa das e dos estudantes. Poderá ter formatos diversos, as veces serán talleres de exemplos e aplicacións da teoría estudada, ou se discutirá un texto, tal vez unha lectura recomendada, as veces abordaranse cuestións preparadas polos estudantes, non explicadas previamente. Noutros casos serán sesións de exercicios, nas que se resolverán os exercicios propostos nos Boletíns. A medida que, en cada parte da materia, se avance no programa, a participación dos e das estudantes será maior, de xeito que resultará habitual que cada estudante expoña algunha cuestión de cada tema no encerado.




Sesións en grupos moi reducidos (0,2 créditos). Teñen como obxectivo o seguimento da aprendizaxe; o seu formato axeitarase á marcha do curso no momento da súa realización.


Cada estudante deberá entregar algúns traballos escritos; poderá ser a resolución dalgún dos exercicios propostos ao longo do curso, a resposta a algún cuestionario específico, ou un traballo de estudo.
Sistema de evaluación
Haberá un dobre sistema de avaliación: a avaliación puntual, realizada mediante o exame final, e a avaliación continuada, realizada ao longo do curso, en base á participación activa na aula e aos traballos realizados.


O exame final consistirá dunha proba escrita. Terá unha parte de teoría, aproximadamente entre o 40% e o 60% da proba, que pode incluír definición de conceptos, presentación e discusión de exemplos, enunciado de resultados e proba total ou parcial dos mesmos. O resto do exame consistirá na resolución de exercicios, que serán análogos aos propostos ao longo do curso. O exame procura avaliar os coñecementos teóricos adquiridos, a capacidade de resolución de problemas e, moi especialmente, a adquisición das competencias enunciadas no programa. Para quen non teña participado nas actividades realizadas ao longo do curso, o exame podería ter un complemento oral.

Para a avaliación continuada o profesor irá seguindo, día a día, o proceso de aprendizaxe de cada estudante. A base desta avaliación será a participación na clase, as actuacións no encerado nas sesións de grupos reducidos, os traballos entregados e a discusión dos mesmos, os tests de avaliación, etc. A cualificación obtida neste proceso estará a disposición de cada estudante antes da realización do exame final, ao remate do período de clases.


A cualificación da materia será a maior da media aritmética das dúas e a do exame. Para obter a cualificación de Matrícula de Honra será necesario ter participado regularmente nas actividades programadas.
Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL

Clases en grupo grande, 45 h.
Clases en grupo reducido, 13 h.
Sesións en grupos moi reducidos, 2 h.

Total taballo presencial, 60 h.

TRABALLO PERSOAL

Estudo autónomo, 60 h.
Escritura de exercicios ou outros traballos, 12 h.
Lecturas recomendadas ou similar, 18 h.

Total horas traballo persoal, 90 h

Recomendacións para o estudo da materia
Para o seguimento da materia é necesario o coñecemento das materias previas de Topoloxía e a de Estruturas Alxébricas, ben que este curso, polas súas especiais circunstancias, farase un proceso extraordinario de adaptación.

A teoría desenvolvida é moi abstracta, non é doado asimilala nunha primeira lectura. A desexable comprensión formal dos conceptos introducidos e das técnicas empregadas nas demostracións dos principais resultados, que non é pouco, non garante unha comprensión profunda. O mellor camiño é estudar coidadosamente os exemplos sinxelos e abordar algún máis complicado, para comprender a natureza das súas dificultades.


Para aprender é necesario preguntar, preguntar todo o que non se entenda, sen a menor reserva. Na aula, ou no despacho do profesor, nas horas reservadas a titorías.