P1141206 - Xeometría de Riemann (Módulo II: Materias Optativas) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 3.00
• Total: 3.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 9.00
• Clase Interactiva Laboratorio: 6.00
• Clase Interactiva Seminario: 6.00
• Horas de Titorías: 3.00
• Total: 24.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 1º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: Primeiro Curso (1º 1ª vez)

Profesores

Nome	Coordinador
Díaz Ramos, José Carlos.	SI
GARCIA RIO, EDUARDO.	NON

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo /CLE_01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo /CLIL_01	Ordinario	Clase Interactiva Laboratorio	SI	NON
Grupo /CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo /TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
- Presentar ó alumno os fundamentos da xeometría riemanniana como xeneralización natural do estudo das superficies no espazo euclidiano. Faremos especial fincapé na distinción existente entre os aspectos locais e globais da teoría, con especial atención á conexión con aspectos topolóxicos e analíticos.
- Introducir o alumno no estudo da xeometría de Lorentz, de especial interese físico na formulación matemática da teoría da relatividade. Especialmente relevante serán os aspectos diferenciais entre as teorías riemanniana e lorentziana.
- Conseguir que o alumno se centre máis nos métodos que nos contidos concretos e que adquira un grao de madurez científica que lle permita enfrentarse ó plantexamento e resolución de diferentes problemas, despertando así a súa capacidade de aplicar as teorías xerais a situacións concretas, sintetizando resultados parciais e deducindo outros máis globais.

Contidos
1 Xeometría de Riemann local
1.1. Métricas riemannianas: función distancia.
1.2. Conexión de Levi-Civita.
1.3. Xeodésicas e distancia.
1.4. Curvatura: curvaturas seccional, de Ricci e escalar.
1.5. Campos de Jacobi: puntos conxugados.
1.6. Determinación da métrica a partir da curvatura: Teorema de Cartan.
2 Xeometría de Riemann global
2.1. Completitude: teorema de Hopf-Rinow.
2.2. Versión global do teorema de Cartan.
2.3. Variedades completas de curvatura positiva: teorema de Myers.
2.4. Variedades completas de curvatura negativa: teorema de Hadamard.
2.5. Resultados de comparación e aplicacións.
3 Xeometría de Lorentz e semi-Riemanniana
3.1. Métricas semi-riemannianas: problema de existencia.
3.2. Propiedades locais: curvatura e planos dexenerados
3.3. Completitude xeodésica de métricas Lorentzianas
3.4. Aplicacións físicas: espacio-tempos relativistas.

Bibliografía básica e complementaria
- J. K. BEEM, P. E. EHRLICH, K. L. EASLEY, Global Lorentzian geometry, Monographs and Textbooks in Pur. Appl. Math. 202, Marcel Dekker, Inc., New York, 1996.
- W. M. BOOTHBY, An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry. Pure Appl. Math., 120. Academic Press, Florida, 1986.
- M. P. DO CARMO, Geometria Riemanniana, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1979.
- I. CHAVEL, Riemannian geometry, a modern introduction, Cambridge Tracts in Mathematics, 108. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- J. M. LEE, Riemannian geometry, an introduction to curvature, Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag, New York, 1997.
- B. O'NEILL, Semi-Riemannian Geometry with applications to relativity, Pure Appl. Math., 103. Academic Press, New York-London, 1983.
- R. K. SACHS, H. WU, General Relativity for Mathematicians, Graduate Texts in Math. 48, Springer-Verlag, New York, 1977.
- T. SAKAI, Riemannian geometry, Transactions of Mathematical Monographs 149, American Mathematical Society, Providence, RI, 1996.

Competencias
- Calcular os obxectos xeométricos dunha variedade de Riemann tales como a métrica, a conexión de Levi-Civita ou o tensor de curvatura.
- Determinar as propiedades das xeodésicas, tales como a posibilidade de minimizar a distancia e a súa relación coa completitude da variedade.
- Aplicar as teoremas de xeometría de Riemann globais para deducir propiedades xeométricas e topolóxicas da variedade.
- Aplicar a xeometría riemanniana a as súas xeneralizacións para a resolución de problemas na teoría da relatividade xeral.

Metodoloxía da ensinanza
A materia desenvolverase alternativamente a través de clases teóricas e clases prácticas fomentando a participación do alumno. Realizaranse exposicións semanais, de forma que o alumno poida profundizar no desenvolvemento tanto teórico como práctico dos temas. Así pois, ademais das exposicións por parte do profesor dos distintos temas do programa, o alumno terá que desenvolver algunas das leccións ó longo do curso.
Ademais, entregaranse follas de exercicios ós alumnos de forma periódica. Algúns serán propostos para que sexan presentados ó concluír o curso; o resto iranse resolvendo na pizarra baixo a supervisión do profesor. Tamén se incentivará a asistencia dos alumnos ós distintos seminarios que se poidan realizar ó longo do curso sobre temas de investigación que estean relacionados cos contidos do programa.

Sistema de evaluación
Os alumnos deberán realizar exposicións dalgunhas partes do temario e entregarán diversos exercicios. A avaliación poderase completar mediante un exame escrito, ademais de considerar a participación activa nas clases e a realización dos exercicios propostos.