P1141208 - Cohomoloxía de Variedades (Módulo II: Materias Optativas) - Curso 2013/2014

Información

• Créditos ECTS
• Créditos ECTS: 3.00
• Total: 3.0
• Horas ECTS
• Clase Expositiva: 9.00
• Clase Interactiva Seminario: 12.00
• Horas de Titorías: 3.00
• Total: 24.0

Outros Datos

• Tipo: Materia Ordinaria Máster RD 1393/2007
• Departamentos: Xeometría e Topoloxía
• Áreas: Xeometría e Topoloxía
• Centro: Facultade de Matemáticas
• Convocatoria: 2º Semestre de Titulacións de Grao/Máster
• Docencia e Matrícula: Primeiro Curso (1º 1ª vez)

Profesores

Nome	Coordinador
ALVAREZ LOPEZ, JESUS ANTONIO.	SI

Horarios

Nome	Tipo Grupo	Tipo Docencia	Horario Clase	Horario exames
Grupo /CLE_01	Ordinario	Clase Expositiva	SI	SI
Grupo /CLIS_01	Ordinario	Clase Interactiva Seminario	SI	NON
Grupo /TI-ECTS01	Ordinario	Horas de Titorías	NON	NON

Programa

Existen programas da materia para os seguintes idiomas:

Castelán

Galego

Inglés

Obxectivos da materia
Trátase dun curso de introdución aos métodos cohomolóxicos en teoría de variedades diferenciables.

Preténdese que o estudante profunde no uso dos métodos alxébricos en xeometría e topoloxía, aplicándoos a problemas concretos para apreciar a súa potencia e sofisticación e para adquirir certa capacidade de cálculo con estas ferramentas.

Os coñecementos que achega permiten aproximarse a varias liñas de investigación que se desenvolven no Departamento de Xeometría e Topoloxía e no Departamento de Álxebra. O curso pode ser tamén de interese para aplicacións en Física teórica.

Contidos
1. Cohomoloxía de De Rham:
1.1. Complexos de cocadeas e cohomoloxía.
1.2. Formas diferenciais.
1.3. Cohomoloxía de De Rham dunha variedade diferenciable.
1.4. Cohomoloxía con soportes compactos.

2. Métodos de cálculo.
2.1. Homotopía. Lema de Poincaré.
2.2. Sucesión de Mayer-Vietoris.
2.3. Cohomoloxía relativa.
2.4. Dualidade de Poincaré.
2.5. Exemplos

3. Aplicacións xeométricas:
3.1. Orientación.
3.2. Integración en variedades. Teorema de Stokes. Dualidade de Poincaré.
3.3. Grao, números de enlace e índice dun campo de vectores.
3.4. Teorema de Poincaré-Hopf

Bibliografía básica e complementaria
Bott, Raoul; Tu, Loring W.
Differential forms in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 82. New York - Heidelberg - Berlin: Springer-Verlag. XIV, 331 p. (1982)

Davis, James F.; Kirk, Paul
Lecture notes in algebraic topology. Graduate Studies in Mathematics. 35. Providence, RI: AMS, American Mathematical Society. xvi, 367 p. (2001).

Dodson, C.T.J.; Parker, Phillip E.
A user's guide to algebraic topology. Mathematics and its Applications 387. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. xii, 405 p. (1997).

Hatcher, Allen
Algebraic topology.
Cambridge: Cambridge University Press. xii, 544 p. (2002).

Karoubi, M.; Leruste, C.
Algebraic topology via differential geometry.
London Mathematical Society Lecture Note Series, 99. Cambridge etc.: Cambridge University Press. X, 363 p. (1987).

Madsen, Ib; Tornehave, Jørgen
From calculus to cohomology: de Rham cohomology and characteristic classes.
Cambridge: Cambridge University Press. vii, 286 p. (1997)

Competencias
CG1 CG2 CG3 CG4 CE1 CE2 CE3 CT1 CT2 CT3
Metodoloxía da ensinanza
O desenvolvemento da materia consistirá en exposicións semanais das liñas xerais e os resultados principais da materia, incentivando o traballo persoal dos alumnos mediante unha bibliografía adecuada. De forma periódica entregaranse aos estudantes boletíns de problemas, que irán resolvendo ao longo do curso.
Sistema de evaluación
Cada alumno deberá resolver os problemas propostos (ao longo do curso ou nun exame) e realizar unha exposición dalgunha parte do temario. A avaliación terá tamén en conta a participación activa nas clases.
Tempo de estudo e traballo persoal
TRABALLO PRESENCIAL NO AULA Horas
Clases de pizarra 22
Clases con ordenador/laboratorio
Titorías en grupo 2
Total horas traballo presencial no aula 24
TRABALLO PERSOAL DO ALUMNO Horas
Estudo autónomo individual ou en grupo 33
Escritura de exercicios, conclusións ou outros traballos 15
Programación/experimentación ou outros traballos en ordenador/laboratorio 3
Total horas traballo persoal do alumno 51

Recomendacións para o estudo da materia
O tema central é a cohomoloxía de De Rham e as súas aplicacións xeométricas, o que supón un coñecemento elemental da teoría de variedades diferenciables (Xeometría e topoloxía de variedades, máster, primeiro cuadrimestre).
É recomendable, aínda que non imprescindible, ter cursado Topoloxía alxébrica (grao).