Nunha variedade alxébrica é común achar singularidades: puntos nos que a variedade non é diferencial, e onde as técnicas usuais do cálculo atopan dificultades. O problema de entender singularidades remóntanse á propia orixe da xeometría alxébrica, e hoxe en día dispoñemos de moitas ferramentas para o seu estudo. Entre elas, unha das máis útiles é a que se coñece como a "resolución de singularidades", un proceso que transforma (de maneira algorítmica) toda variedade alxébrica nunha variedade lisa, usando unha sucesión de modificacións con estrutura simple é fácil de controlar.
Na década dos 60, Nash propón un novo enfoque para o estudo de singularidades: o espazo de arcos. Estes espazos son un análogo natural de orde superior dos espazos tanxentes; parametrizan xermes de curvas na variedade. Ó igual que no caso dos espazos tanxentes, os espazos de arcos son fáciles de entender no caso liso. A observación de Nash é que, en presencia de singularidades, a estrutura xeométrica do espazo de arcos vólvese moi rica.
O problema de Nash explora a conexión entre a topoloxía do espazo de arcos e o proceso de resolución de singularidades. A mera existencia desta conexión xerou nas últimas décadas un elevado volume de actividade na teoría de singularidades, con moita influencia noutras áreas, notablemente en xeometría birracional e o programa Mori.
O obxecto desta charla é dar una visión de conxunto do problema de Nash. A miña intención é describir o problema en termos elementais, e discutir os avances máis recentes na área. Estes inclúen a demostración da conxetura de Nash en dimensión dous por parte de Fernández de Bobadilla e Pe Pereira, e a nosa extensión do seu resultado a dimensión arbitraria (este é un traballo en colaboración con Tommaso de Fernex).

Día

Xoves, 19 de xullo de 2018

Lugar

Aula 7
Facultade de Matemáticas